Определение производной.

Рассмотрим функцию , определенную на некотором промежутке X. Возьмем любую точку и зададим аргументу x в точке произвольное приращение такое, что точка + также принадлежит Х. Функция получит приращение + ) – .

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при (при условии, что этот предел существует).

Производная обозначается , ,

Итак, по определению,

Если для некоторого значения выполняется условие или (), то говорят, что в точке функция имеет бесконечную производную знака плюс (или знака минус). В отличие от бесконечной производной, определенную выше производную функции иногда называют конечной производной.

Функция , имеющая производную в каждой точке промежутка называется дифференцируемой на этом промежутке. Операция нахождение производной функции называется дифференцированием функции.

Пример 1. Найдем производную функции .

Придав аргументу приращение , находим приращение функции : Составим отношение: . Тогда, по определению производной

.

При вычислении предела воспользовались эквивалентностью ~ при

Итак, , т.е. .

Аналогично, используя определение производной, можно вывести формулы производных основных элементарных функций:

1. Степенная функция , – любое действительное число.

, .

2. Показательная функция > 0.

,

3. Логарифмическая функция , > 0, 1.

,

, .

4. Тригонометрические функции.

,

,

,

Теорема. Если функция дифференцируема в данной точке х, то она непрерывна в этой точке.

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной.

Замечание. Обратное не верно, т.е. из непрерывности функции в некоторой точке х не следует дифференцируемость функции в этой точке.

Таким образом, в данном учебном вопросе мы познакомились с понятием производной, научились находить производные основных элементарных функций.

Вопрос 2. Геометрический и физический смысл производной

Пусть некоторая материальная точка (тело) движется неравномерно по некоторой прямой.

Рис. 1

Расстояние s движущейся точки , отсчитываемое от некоторого начального ее положения будет зависеть от времени t, т.е. s функция времени t: = . Это равенство называют законом движения точки (рис.1).

Пусть в некоторый момент времени t точка находилась на расстоянии s от начального положения , а в некоторый следующий момент ( – приращение времени) точка оказалась в положении на расстоянии от начального положения. Таким образом, за промежуток величина s получила приращение , . Отношение выражает среднюю скорость движения точки за время t. То есть, . Для того, чтобы точнее выразить истинную скорость с помощью средней скорости, надо взять меньший промежуток времени . Наиболее полно характеризует скорость движения точки в момент t тот предел к которому стремится средняя скорость при . Этот предел называют скоростью движения в данный момент времени или .

Скоростью движения в данный момент называется предел отношения приращения пути к приращению времени , когда приращение времени стремится к 0. То есть, скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути s по времени t: В этом заключается механический смысл производной.

В общем случае, если функция описывает какой-либо физический процесс, то производная есть скорость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной.

Теперь дадим геометрическое истолкование производной. Для этого потребуется определение касательной к кривой в данной точке.

Пусть имеем кривую и на ней точки и .Проведем прямую, проходящую через эти точки. Она называется секущей. Пусть точка неограниченно приближается по кривой к точке . Тогда секущая, поворачиваясь около точки стремится к некоторому предельному положению .

Касательной кданной кривой в данной точке называется предельное положение секущей , проходящей через точку , когда вторая точка пересечения неограниченно приближается по кривой к точке (рис. 2).

Рис. 2

Рассмотрим теперь график непрерывной функции , имеющий в точке невертикальную касательную.

Пусть при некоторых значениях функция имеет значение . Этому значению соответствует точка . Дадим аргументу приращение . Новому значению аргумента соответствует значение функции . Соответствующей точкой графика будет точка . Проведем секущую и обозначим через угол, образованный секущей и положительным направлением оси Оx (рис.3). Составим отношение .

Из рисунка 3 видно, что . Если , то точка стремится к точке . Секущая будет поворачиваться, угол будет меняться. Если при , угол стремится к некоторому пределу , то прямая, проходящая через точку и составляющая с положительным направлением оси Оx угол будет искомой касательной. Найдем ее угловой коэффициент:

.

Рис. 3

Таким образом, мы получили, что значение производной при данном значении аргумента х равняется тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Оx касательной к графику функции в соответствующей точке , или, другими словами, производная равна угловому коэффициенту. В этом состоит геометрический смысл производной.