Точки разрыва функции

Если требования непрерывности функции в точке не выполняются, т.е. функция не определена в точке или предел функции в точке не существует, или существует, но не равен значению функции в этой точке, то функция называется разрывной в точке , а сама точка называется точкой разрыва функции.

Если функция имеет предел в точке , но он не совпадает со значением функции в этой точке или функция не определена в этой точке, то разрыв называется устранимым.

Если функция имеет в точке односторонние пределы, не равные между собой, то называется точкой разрыва первого рода. При этом – = называется скачком функции в точке .

Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечный в точке , то эта точка разрыва второго рода.

Итак, функция терпит разрыв в точке в одном из следующих случаев:

1) , но , либо не определено (рис.1); в этом случае говорят, что – точка устранимого разрыва;

2) – конечные, но не равные между собой пределы; такая точка называется точкой разрыва первого рода (говорят, что терпит в точке скачок) (рис.2);

3) по крайней мере одного из односторонних пределов в точке не существует (т.е. не существует конечного предела); в таком случае говорят, что x₀ – точка разрыва второго рода (рис.3).

Рис.1	Рис.2
Рис. 3

Если функция непрерывна в каждой точке интервала (, ), то она называется непрерывной на этом интервале. Если = , то функция называется непрерывной в точке слева. Аналогично при = – непрерывной в точке справа.

Если функция непрерывна в каждой точке интервала (, ), < и в точке = она непрерывна справа, а в точке = – слева, то она называется непрерывной на отрезке [ , ].

Все основные элементарные функции непрерывны в своих областях определения. Напомним, что под основными элементарными функциями понимают следующие пять функций:

1) степенную = , Î R;

2) показательную = , > 0, ¹ 1;

3) логарифмическую = , > 0, > 0, ¹ 1;

4) тригонометрические = sin , = cos ;

5) обратные тригонометрические = arcsin , Î [–1, 1],