Типовые примеры

1) .

► Если необходимо найти предел , можно предварительно привести к общему знаменателю

.

Поделив на член, имеющий максимальную степень, получим в числителе постоянную величину, а в знаменателе – все члены, стремящиеся к 0, то есть

.◄

2)

► Данный пример решается аналогично предыдущему:

◄

3) .

► При подстановке , получим .◄

4) .

► В этом пределе, если подставить , то получится неопределенность, которую можно преодолеть, если разложить разность кубов в знаменателе , а числитель в виде: .

Тогда и подставив , получим: .◄

5) .

► Если необходимо найти предел рациональной функции , то при делении на член с минимальной степенью, получим ; и, устремив к 0, получим: .◄

6) ► Имеет место неопределенность вида Так как является корнем многочленов из числителя и знаменателя, то выделяется как сомножитель в числителе и знаменателе. Для разложения на множители выполним деление «уголком» Имеем

◄

Если в пределах содержатся иррациональные выражения, то приходится вводить новые переменные для получения рационального выражения, или же переводить иррациональности из знаменателя в числитель и наоборот.

7) .

► Сделаем замену переменной. Заменим , при , получим .◄

8) .

► Если числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, то предел не изменится. Умножим числитель на и разделим на это же выражение, чтобы предел не изменился, а знаменатель умножим на и разделим, на это же выражение. Тогда получим:

◄

9) .

► [ ]=(Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю) =

◄

10)

► Имеет место неопределенность вида Произведем замену Тогда при

◄

11) .

► Для вычисления такого предела сведем его к 1-му замечательному пределу. Для этого умножим и разделим числитель на , а знаменатель на , тогда .◄

12) .

► = [ по первому замечательному пределу ] = ◄

13) .

►

◄

14) .

► Для вычисления этого предела сведем его ко второму замечательному пределу. С этой целью из рационального выражения в скобках выделим целую часть и представим ее в виде правильной дроби. Так поступают в тех случаях, когда , где , а , где ;

, а , то окончательно . Здесь использовалась непрерывность композиции непрерывных функций. ◄

15) ► =[ по второму замечательному пределу ] =

◄

16) .

►

◄

17) .

► Имеем и . Поэтому .◄

18) Найдите и , если .

► Рассмотрим нахождения левого и правого пределов. Пусть Если Следовательно, Если же

и

Таким образом, Это означает, что не существует ◄