Из формулы (3.8) следует равенство приведенных теплот нагревателя и холодильника в цикле Карно.

Можно показать, что цикл Карно всегда можно разбить на два или больше циклов промежуточными адиабатами (рис. 3.5.) [15]. Такое деление цикла является обоснованным потому, что промежуточные адиабаты проводятся в противоположных направлениях, и оба процесса по такой адиабате взаимно компенсируются. Разобьем цикл Карно на два цикла с помощью адиабаты ab (см. рис. 3.5.). Тогда теплоты Q ₁ и Q ₂ разделяются на части

Рассмотрев каждый из образованных циклов, получим равенство приведенных теплот согласно (3.8)

Рис. 3.5 Рис. 3.6

Сложив эти равенства, находим

и вообще при разделении на несколько циклов будем иметь

(3.9)

Допустимо также составление циклов Карно, где участвуют нагреватели и холодильники с различными температурами в разных циклах. И в этом случае составление ведется по адиабатам (рис. 3.6.). Обобщая выражение (3.9) на n циклов, получим

(3.10)

Наряду с циклами, где происходит передача конечных количеств тепла Q ₁ и Q ₂, можно представить элементарные циклы, в которых передаются бесконечно малые количества тепла dQ ₁и dQ ₂при конечной разности температур T ₁и T ₂.Для такого цикла

Пользуясь возможностью разбиения циклов на части любой обратимый цикл можно разбить на большое количество узких элементарных циклов Карно, соприкасающихся по адиабатам (рис. 3.7.).

Рис. 3.7

При этом отрезки адиабат, лежащие внутри контура, взаимно компенсируются. Некоторая ошибка получается вследствие замены непрерывного контура ступенчатыми изотермами сверху и снизу, а также нескомпенсированными отрезками адиабат, прилегающих к контуру. Однако при переходе к пределу, когда dQ ₁⁽ⁱ⁾и dQ ₂⁽ⁱ⁾стремятся к нулю, эта ошибка может быть сделана сколь угодно малой. Выражение (3.10) для конечного числа элементарных циклов в пределе будет иметь вид

(3.11)

Выражение (3.11) можно переписать в виде

(3.12)

Выражение (3.12) можно рассматривать как алгебраическую сумму при переменных dQ и Т. Так как эта сумма относится ко всему контуру, то из (3.12) следует

(3.13)

Выражение (3.13) является интегралом Клаузиуса для любого обратимого цикла. Отсюда следует, что интеграл приведенных теплот для любого обратимого цикла для всех веществ равен нулю.

Рис. 3.8

Из соотношения (3.13) следует, что не зависит от формы пути.

Например, при изменении состояния от точки А до точки В (рис. 3.8.) по пути АСВ получим

а при движении от А к В по пути ADB будем иметь

Отсюда, следуя (3.13), можно записать

или

Так как интеграл по замкнутому контуру от равен нулю, а также учитывая, что изменение этой величины не зависит от формы пути, приходим к выводу, что бесконечно малая величина есть полный дифференциал некоторой функции S параметров состояния

(3.14)

Эта функция состояния называется энтропией. Интегрируя (3.14), получим общее выражение для энтропии

(3.14а)

где константа (const) является неопределенной постоянной интегрирования. Отсюда следует новая математическая формулировка второго начала:

величина есть полный дифференциал. Таким образом, установлено существование энтропии как функции состояния. Согласно выражению (3.14) энтропия имеет следующую единицу измерения:

для 1 кг массы s, Дж/(кг·К);

для любого количества вещества S, Дж/К.

Абсолютное значение энтропии может быть найдено лишь в случае, если будет известна неопреде­ленная постоянная интегрирования.