Функции. Их свойства

Определение 1. Функция называется бесконечно малой (б.м.) функцией при , если ее предел при равен нулю.

< => " $ , для всех х, удовлетворяющих неравенству , будет выполняться неравенство .

Определение 2. Функция называется бесконечно большой (б.б.) функцией при , если ее предел при равен +¥ (-¥).

Пример. Функция при - б.м., при - б.б., при не является ни б.б. ни б.м.

Теорема 1 (о связи предела и бесконечно малой функции). Если функция имеет предел , то разность между функцией и значением предела есть функция, бесконечно малая при .

Доказательство. Необходимо показать, что

< => f(x)-A б.м. функция при .

Так как , то

" $ , для будет выполняться неравенство .

Сравним это с определением б. м. функции:

" $ , для будет выполняться неравенство .

Сравнивая определения предела функции и б. м. функции, видим, что f(x)-A - б.м. при .

Теорема 2. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при функций есть функция бесконечно малая при .

Доказательство. Пусть - б.м. функции при .

Надо доказать, что есть б.м. функция при .

Возьмем e> 0, тогда и .

Так как - б.м. при , $ , , ;

так как - б.м. при , $ , , ;

так как - б.м. при , $ , , .

Возьмем , тогда при будут выполняться все три неравенства (2.1) одновременно.

.

Итак, для " e> 0 мы нашли такое, что при всех выполняется неравенство , => есть б.м. функция при .

Теорема 3. Произведение бесконечно малой при функции на ограниченную в некоторой окрестности точки а функцию есть бесконечно малая функция при .

Доказательство. - б. м. при функция;

f(x) - ограниченная в некоторой окрестности точки а функция.

Докажем, что · f(x) – б. м. функция при .

Поскольку f(x) - ограниченная в некоторой окрестности точки а функция, то $ и $ К такие, что при " х

Þ | f(x) | < К.

Возьмем произвольное e> 0 и рассмотрим число ,

так как - б. м. при функция, $ , что " х:

Þ | |< .

Возьмем , тогда при будут выполняться оба неравенства (2.2) и (2.3) одновременно.

<

Итак, для " e> 0 мы нашли такое, что при всех х, удовлетворяющих , выполняется неравенство | · f(x) |< e, => · f(x) – б. м. функция при .

Теорема 4. Произведение конечного числа бесконечно малых при функций есть функция, бесконечно малая при .

Теорема 5 (о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций). Если - б. м. при функция и ¹ 0 в некоторой окрестности точки а, то функция есть б. б. функция при .

Если - при б. б. функция, то функция есть б. м. функция при .