Теорема о нуле непрерывной функции, следствие из нее. Теорема о среднем значении для функции, непрерывной на отрезке, ее вывод из теоремы о нуле. Графические иллюстрации.

Первая теорема Коши. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на его концах значения разных знаков, то на отрезке [a; b] имеется хотя бы один нуль функции f. При этом, если функция строго монотонна на этом отрезке, то она принимает значение 0 лишь один раз.

Теорема Коши о нулях непрерывной функции. Только на одном из отрезков – [a₃; b₃] – имеется нуль функции, так как на этом отрезке функция непрерывна и принимает значения разных знаков на концах.

Геометрический смысл: График непрерывной на промежутке и принимающей в двух точках этого промежутка значения разных знаков пересекает ось абсцисс по крайней мере в одной точке.

f (a)< 0, f (b)> 0, f (c)=0

В теореме лишь утверждается существование нуля функции такой точки c, где f (c)=0, но не показывает метода нахождения точки.

Доказательство: Разделим отрезок [ a; b ] точкой 2 a + b на 2 равных отрезка, если f (2 a + b)=0, то теорема доказана и с=2 a + b, если же f (2 a + b)/=0, то на концах по крайней мере одного из частичных отрезков функция f принимает значения разных знаков.

Обозначим этот сегмент через [ a 1; b 1]. Сегмент [ a 1; b 1] разбиваем точкой c =2 a 1+ b 1на две равные части. Если f (2 a 1+ b 1)=0, то теорема доказана и с=2 a 1+ b 1, если же f (2 a 1+ b 1)/=0, то обозначим через [ a 2; b 2] тот частичный сегмент на концах которого функция принимает значения разных знаков. И т.д.

Продолжив этот процесс либо при некотором k ∈ N будем иметь f (2 ak + bk)=0 и тогда теорема доказана (здесь с=2 ak + bk), либо ни при каких k ∈ N условие f (2 ak + bk)=0 не выполнится.

При этом будет построена посл. ([ an; bn ]стягиваниемсегментов

1)[ a; b ]≥ [ a 1; b 1]≥...≥ [ an; bn ]≥...

2)lim n → ∞ (b − nan)=2 b − a =0

Поэтому существует единственная точка C содержащаяся во всех сегментах. Функция f непрерывна в точке C ∈ I и поскольку c =lim ann → ∞ =lim bnn → ∞, то в любой окрестности точки C функция f принимает значения разных знаков. По следствию f (c)=0. ч.т.д.

Вторая теорема Коши. Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b) и g¢ (x) ¹ 0 на интервале (a, b), то существует по крайней мере одна точка e, a < e < b, такая, что

.

Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению производных в точке e.

Для доказательства этой теоремы на первый взгляд очень удобно воспользоваться теоремой Лагранжа. Записать формулу конечных разностей для каждой функции, а затем разделить их друг на друга. Однако, это представление ошибочно, т.к. точка e для каждой из функции в общем случае различна. Конечно, в некоторых частных случаях эта точка интервала может оказаться одинаковой для обеих функций, но это- очень редкое совпадение, а не правило, поэтому не может быть использовано для доказательства теоремы.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

,

которая на интервале [a, b] удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Легко видеть, что при х = а и х = b F(a) = F(b) = 0. Тогда по теореме Ролля существует такая точка e,

a < e < b, такая, что F¢ (e) = 0. Т.к.

, то

А т.к. , то

Теорема доказана.