Утверждение 6.14.

Пусть наблюдение имеет полиномиальное распределение , и основная гипотеза заключается в том, что ().

Если гипотеза не верна, тогда последовательность (по ) случайных величин не ограничена по вероятности, то есть:

, при .

В силу утверждения 6.14 статистика отвечает условию а) определения статистики критерия 6.5: в случае если гипотеза не верна, статистика с большой вероятностью примет «большое» значение, которое укажет на «большое» расхождение между наблюдаемыми величинами и ожидаемыми значениями.

Для того, чтобы статистика отвечала и пункту б) определения статистики критерия и могла быть использована в статистическом критерии, остается лишь найти способ вычисления (хотя бы приближенного) значений функции распределения статистики . Оказывается, что в случае если гипотеза верна (то есть , ) распределение статистики с ростом стремится к распределению .

Теорема 6.14. (Пирсон)

Пусть наблюдение имеет полиномиальное распределение (). Если верна гипотеза :

: , ,

тогда распределение статистики стремится к распределению хи-квадрат с степенью свободы:

, при .

Можно показать, что критерий хи-квадрат является состоятельным: в данном случае наблюдение имеет полиномиальное распределение , полностью определяемое вектором вероятностей и числом .