Определение 6.4.

В задачах проверки с одной гипотезой статистический критерий также называют критерием согласия.

Происхождение названия «критерий согласия» происходит от того, что критерий призван ответить на вопрос «согласуются ли наблюдаемые статистические данные с гипотезой».

Неформально общий принцип всех критериев проверки гипотез может быть проиллюстрирован на следующем простом примере: рассмотрим серию независимых испытаний, в которых некоторая монета, вероятность выпадения герба для которой неизвестна, подбрасывается раз и при этом фиксируется количество выпавших гербов . Основная гипотеза заключается в том, что «монета является симметричной», то есть неизвестная вероятность :

.

Пусть проведено три серии испытаний, в каждой из которых количество выпавших гербов разное:

а) в первой серии – ;

б) во второй серии – ;

в) в третьей серии – .

В рамках первой серии выпадение герба 52 раза из 100 для симметричной монеты кажется вполне правдоподобным. Действительно, для симметричной монеты среднее количество выпадений герба при 100 подбрасываниях равно 50, и наблюдаемое значение 52 отличается от среднего на 2. Вероятность отклонения случайной величины количества выпавших гербов от среднего 50 не менее чем на 2, в случае если гипотеза верна, весьма велика:

,

то есть такое событие имеет большую вероятность, при справедливости гипотезы, и вполне могло произойти в конкретном эксперименте, поэтому в данном случае нет причин отклонять гипотезу, и гипотеза вполне обосновано принимается.

В рамках второй серии отклонение количества выпавших гербов 43 от среднего 50 для симметричной монеты кажется менее правдоподобным. Действительно, вероятность отклонения случайной величины количества выпавших гербов от среднего 50 не менее чем на 7, в случае если гипотеза верна, оказывается малой:

.

В данном случае на основании наблюдения весьма затруднительно судить о том верна гипотеза или нет, поэтому принять или отклонить гипотезу в данном случае можно только с большой вероятностью ошибки.

В рамках третьей серии отклонение количества выпавших гербов 73 от среднего 50 для симметричной монеты кажется абсолютно неправдоподобным. Действительно, в этом случае вероятность отклонения случайной величины количества выпавших гербов от среднего 50 не менее чем на 23, в случае если гипотеза верна, оказывается чрезвычайно малой величиной:

.

Если считать, что гипотеза верна и монета симметрична, то наблюдаемое событие, как видно, имеет слишком малую вероятность, и вряд ли наблюдалось бы в конкретном эксперименте, поэтому в данном случае, гипотезу безоговорочно можно считать отклоненной.

В приведенном примере метод обработки наблюдения заключался в следующем: вычислялось отклонение наблюдаемого значения количества выпавших гербов от гипотетического (ожидаемого) среднего значения количества выпавших гербов. Если гипотеза верна, то отклонение наблюдаемого значения от ожидаемого с большой вероятностью окажется мало и с малой вероятностью – велико, поэтому если наблюдалось малое отклонение, как в первой серии, то гипотеза принималась, если же наблюдалось большое отклонение, как в третьей серии, то гипотеза отклонялась.

Рассмотрим решение задачи проверки статистической гипотезы в общем случае: пусть – наблюдение, которое является исходным (на основе которого формируется решение, принимается гипотеза или отклоняется). Прежде всего, разрабатывается специальная статистика , которая является основой критерия и называется статистикой критерия.