Определение 5.4.

Пусть – наблюдение и случайная величина зависит как от наблюдения так и от неизвестной величины . Случайная величина называется центральной статистикой для величины , если:

1) функция распределения известна (то есть никаким образом не зависит от неизвестного параметра ),

2) при всех реализациях наблюдения одновременно функция непрерывна и строго монотонна по (например, при всех функция непрерывна и возрастает по ).

Предположим, что некоторым образом построена центральная статистика для – , поскольку функция распределения известна (условие 1), то всегда можно найти числа и такие, что:

.

Поскольку функция непрерывна по при всех реализациях наблюдения , то при каждом существуют решения и системы уравнений (рисунок 5.1):

Рисунок 5.1.

Если функция возрастает по при всех реализациях наблюдения, тогда события и эквивалентны и вероятности событий равны, то есть:

.

Пусть статистики и , тогда интервал является доверительным интервалом для с уровнем доверия , поскольку для всех допустимых значений параметра :

,

следовательно,

.

Если функция убывает по при всех реализациях наблюдения, тогда эквивалентны события и и равны вероятности:

.

Пусть статистики и , тогда интервал является доверительным интервалом для с уровнем доверия , поскольку для всех допустимых значений параметра :

,

тогда,

Аналогичным образом, с помощью центральной статистики могут быть построены доверительные границы.