Определение 4.6.

Статистика называется асимптотически нормальной с параметрами и :

при ,

если при каждом :

,

где – функция распределения , – функция Лапласа (функция распределения нормальной случайной величины с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1).

Теорема 4.7. (асимптотические свойства МП-оценок)

Пусть – выборка из распределения с плотностью вероятностью , зависящей от скалярного параметра , – множество допустимых значений параметра, – истинное значение параметра, – МП-оценка параметра .

Если,

1) при каждом и почти всех существуют производные , и ;

2) при каждом и почти всех : и , причем существуют интегралы и ;

3) при каждом и почти всех : и существует единая постоянная такая, что для всех : .

4) при каждом конечен и положителен интеграл:

Тогда,

1) МП-оценка состоятельна, то есть при ;

2) МП-оценка является асимптотически нормальной;

3) МП-оценка асимптотически эффективная;

Метод порядковых статистик: построение оценок и оценка квантилей. Понятие порядковой статистики, функция распределения и функция плотности вероятности (без доказательства) порядковых статистик. Теорема Крамера об асимптотической нормальности порядковых статистик и свойства оценок по методу порядковых статистик.

Пусть – выборка из распределения , тогда функция распределения -ой порядковой статистики :

Доказательство:

Выберем произвольным образом и зафиксируем значение , определим на основе выборки вектор бинарных случайных величин :

.

Случайные величины независимы в совокупности (поскольку случайные величины независимы в совокупности) и имеют одинаковое распределение (поскольку случайные величины имеют одинаковую функцию распределения):

,

.

Пусть – -ая порядковая статистика, по определению функция распределения :

.

Порядковая статистика меньше величины тогда и только тогда, когда среди величин выборки () величин меньше и величин не меньше , то есть тогда и только тогда, когда в векторе бинарных случайных величин величин равны 1 и величин равны 0, что эквивалентно тому, что случайная величина больше или равна . Поскольку все независимы и одинаково распределены, то случайная величина имеет распределение Бернулли с параметрами и , тогда:

(4.13)

Заметим, что полученное равенство справедливо для любого , поскольку величина была выбрана произвольным образом.

При из (4.13) получим:

.

При из (4.13) получим:

.

Утверждение доказано.