Построение наикратчайшего доверительного интервала для математического ожидания нормального распределения с известной дисперсией.

Пусть – выборка из нормального распределения с неизвестным математическим ожиданием и известной дисперсией , построим доверительный интервал для математического ожидания с уровнем доверия .

Поскольку все величины выборки имеют нормальное распределение, то статистика также имеет нормальное распределение с параметрами:

,

.

Тогда статистика :

,

имеет нормальное распределение не зависящее от неизвестного параметра и одновременно при всех реализациях функция как функция является непрерывной и убывающей. Согласно определению – центральная статистика для . Выберем числа и так, чтобы выполнялись равенства:

или

,

где - функция распределения нормальной случайной величины . Для нахождения минимума функции при условии воспользуемся методом Лагранжа, с функцией Лагранжа:

,

которая приводит к системе:

.

У второго уравнения системы или , очевидно, имеется только два решения и , первое решение не удовлетворяет третьему уравнению системы , тогда:

Используя свойство функции нормального распределения получим:

.

Таким образом, есть квантиль уровня распределения и . Значению можно придать иную интерпретацию:

,

то есть является квантилью уровня распределения . Таким образом, получим равенство для вероятностей:

.

Преобразовывая неравенства, получим:

,

.

Преобразование неравенств фактически является нахождением решения системы:

.

Таким образом, при всяком значении параметра :

,

тогда интервал ():

,

где – является квантилью уровня распределения , является доверительным интервалом для с уровнем доверия .