Теорема об улучшении несмещенных оценок с помощью достаточных статистик (теорема Блекуэлла). Утверждение об оптимальной несмещенной оценке и достаточной статистике.

Теорема 3.13 (Блекуэлл)

Пусть – несмещенная оценка , – статистика, достаточная для параметра и случайная величина является условным математическим ожиданием величины при условии :

,

тогда

1) случайная величина является статистикой;

2) ;

3) .

Доказательство:

1) Заметим, что условная случайная величина:

(3.6)

где условное распределение случайного вектора при условии . Поскольку является статистикой достаточной для параметра , то по определению, условная плотность от параметра не зависит. Таким образом, справа в (3.6) под интегралом расположены функции, которые от параметра не зависят, и следовательно интеграл является функцией только , поэтому случайная величина , является статистикой, поскольку зависит только от наблюдения :

.

2) Вычислим математическое ожидание , воспользовавшись свойством условного математического ожидания:

,

поскольку является несмещенной оценкой .

3) Представим дисперсию с помощью условного математического ожидания и условной дисперсии:

.

Во втором слагаемом справа , поэтому:

,

поскольку условная дисперсия неотрицательна случайная величина, , то и математическое ожидание от неотрицательной величины условной дисперсии неотрицательно, :

.

Теорема доказана.