Замечание

В многомерном случае неравенство Рао-Крамера формулируется следующим образом: пусть – вектор случайных величин, – многомерный параметр, , , …, – несмещенные оценки , , …, , тогда при некоторых условиях:

,

(3.5)

где – дисперсионная матрица случайных величин , , …, (), – информационная матрица Фишера (), – матрица производных (), символ означает транспонирование. Неравенство (3.5) следует понимать в следующем смысле: для любого вектора-столбца ,

.

Выражение, стоящее слева, есть квадратичная форма , а выражение, стоящее справа, – квадратичная форма :

.

Преобразуем выражение, стоящее слева, обозначив вектор-столбец случайных величин и вектор-столбец функций :

.

Поскольку , …, несмещенные оценки , …, , то , тогда,

.

Таким образом,

,

поскольку , так как – не случайная величина, тогда,

.

Выберем произвольным образом , , и представим, что в векторе -ая компонента равна единице, а все остальные компоненты равны нулю:

,

тогда левая часть неравенства окажется равной , а правая – соответствующему диагональному элементу :

,

Отсюда следует, что диагональные элементы матрицы являются нижними границами дисперсий оценок , …, .

Функция правдоподобия, функция вклада и информация Фишера. Свойства информации Фишера в условиях регулярности (вычисление с помощью второй производной, аддитивность в условиях независимости, информация Фишера для выборки). Замечание о характере убывании дисперсии несмещенной оценки, построенной по выборке.