Постановка задачи построения точечной линейной оценки среднего при разноточных измерениях, метод построения линейной оценки с минимальной дисперсией и свойства коэффициентов.

Известно, что случайные величины () имеют вид:

,

где неизвестное числовое значение, попарно независимые случайные величины с математическим ожиданием и дисперсией , значения известны. Требуется построить оценку неизвестной величины , такую что

1) Оценка линейная:

,

2) Оценка является несмещенной оценкой :

3) Оценка имеет наименьшую дисперсию в классе линейных оценок:

.

Легко видеть, что , тогда:

.

Поскольку должна быть несмещенной оценкой, то нужно потребовать чтобы :

.

.

Вычислим дисперсию , учитывая, что в силу попарной независимости величин ковариация при :

.

Таким образом, приходим к задаче минимизации квадратичной формы по неизвестным при условии, что . Для решения задачи нахождения условного экстремума воспользуемся методом множителей Лагранжа, функция Лагранжа имеет вид:

.

Дифференцируя по и , получим систему:

.

Таким образом, искомая оценка имеет вид:

,

при этом дисперсия оценки :

.

Обозначим , тогда и отсюда становится понятно, что чем меньше , тем больше коэффициент , то есть чем более «точным» является измерение , тем с большим «весом» оно входит в сумму оценки . Например, если -ое измерение «точнее» -го в 3 раза, то есть , тогда , то есть «вес» измерения в сумме оценки в раз больше «веса» измерения .

Функция правдоподобия, функция вклада и информация Фишера. Условия регулярности и свойства функции правдоподобия и функции вклада в условиях регулярности. Теорема о неравенстве Рао-Крамера.