Определение 2.4.

Статистика называется исправленной выборочной дисперсией.

Для доказательства состоятельности оценки может быть использована теорема Хинчина и свойства сходимости по вероятности. Ранее было получено выражение для оценки в виде:

К совокупности случайных величин применима теорема Хинчина: величины независимы и имеют одинаковую функцию распределения (поскольку величины образуют выборку), кроме того, математическое ожидание каждой величины конечно (по условию постановки исходной задачи, приведенной в начале пункта). Таким образом, по теореме Хинчина:

, при .

Оценка является состоятельной, что по определению означает:

, при

откуда по определению сходимости по вероятности

, при .

Функция возведения в квадрат является непрерывной, и, как и для всякой непрерывной функции, в силу свойства сходимости по вероятности:

, при .

В силу свойства суммы двух пределов по вероятности,

, при ,

откуда следует, что

, при ,

то есть оценка в соответствии с определением является состоятельной.

Для доказательства состоятельности оценки могут быть использованы свойства сходимости по вероятности или утверждение 2.1.

В соответствии с определением оценки :

,

где оценка состоятельна, то есть при , и числовая последовательность стремиться к 1 при . Последнее означает, что для любого всегда можно найти такое, что при :

,

отсюда, считая элементы последовательности функциями тождественно равные постоянным, получим:

,

тогда, очевидно, что и для всякого :

.

Таким образом, числовая последовательность сходится по вероятности к 1 при , . Оценка , отсюда по свойству сходимости по вероятности:

, при .

Поскольку статистика является несмещенной оценкой , то для проверки состоятельности статистики можно воспользоваться утверждением 2.1, для этого покажем, что дисперсия статистики конечна и стремиться к нулю с ростом , при . При вычислении дисперсии дополнительно потребуется существование четвертого центрального момента :

,

будем считать, что это требование выполнено.

Прежде всего, вычислим дисперсию статистики , которую, как было показано ранее, можно представить в следующем виде:

.

Далее, подставляя выражение для получим:

.

Введем центрированные случайные величины , тогда для получим выражение:

Теперь, возводя в квадрат и преобразовывая, получим выражение:

.

Представим дисперсию в виде:

(2.4)

Вычислим :

.

Заметим, что величины () совместно независимы, поскольку независимы величины (), так как образуют выборку, и кроме того:

.

Рассмотрим слагаемые в сумме , зафиксируем , и рассмотрим все возможные варианты для индексов и :

1) ,

а) – невозможно, поскольку и ;

а) :

;

2) ,

а) :

;

б) :

.

Таким образом, все слагаемые .

Рассмотрим слагаемые в сумме , зафиксируем индексы и , и рассмотрим все возможные варианты для индексов и :

1) :

а) – невозможно, поскольку и ;

б) :

;

в) , :

;

2) :

а) :

;

б) – невозможно, поскольку и ;

в) , :

;

3) и :

а) :

;

б) :

;

в) , :

;

Заметим, что только в случае 1б) , и в случае 2а) , слагаемое может быть отлично от нуля, во всех остальных случаях слагаемое .

Таким образом, для получим выражение:

.

Поскольку , то

Поскольку величины () независимы, то , тогда:

.

Таким образом,

.

Из (2.4) с учетом (2.3) получим выражение для дисперсии :

.

Зная выражение для дисперсии , легко вычислить дисперсию оценки . Поскольку , то:

.

Поскольку и , то очевидно и , при , откуда в силу утверждения 2.3 оценка является состоятельной.