Определение 3.11.

Статистика называется достаточной для параметра , если условная плотность вероятности (или условная вероятность в дискретном случае) случайного вектора при условии не зависит от параметра .

Теорема 3.12. (критерий факторизации)

Пусть – наблюдение и – функция правдоподобия вектора . Статистика является достаточной для параметра тогда и только тогда, когда функция правдоподобия имеет вид:

,

где и некоторые функции.

Доказательство:

Рассмотрим доказательство для только для случая, когда все случайные величины () дискретны.

1) Пусть статистика является достаточной для параметра , покажем, что:

.

Функция правдоподобия равна вероятности события :

.

Рассмотрим событие . Легко видеть, что если при некотором выполняются равенства ,..., , то при этом же выполняется равенство , поэтому, очевидно:

откуда следует, что совместное наступление событий и есть событие :

то есть,

.

Отсюда следует равенство для вероятностей событий:

Вероятность справа представим по формуле умножения как произведение условной и безусловной вероятностей:

Условная вероятность, есть условное распределение вектора при условии :

.

Поскольку статистика является достаточной для параметра , то функция не зависит от параметра и может зависеть только от ,..., :

.

Безусловная вероятность очевидно зависит от величины и, возможно, от параметра :

.

Таким образом, для функции правдоподобия получим:

.

2) Пусть имеет место разложение , покажем, что в этом случае статистика достаточна для параметра , то есть условная вероятность не зависит от параметра . По определению условной вероятности:

Если , то вероятность, стоящая в числителе равна нулю независимо от значения параметра . В точке :

.

Таким образом,

.

Выражение, стоящее справа, очевидно, не зависит от параметра , поэтому условная вероятность не зависит от параметра , и следовательно статистика достаточна для параметра .

Теорема доказана.