Определение 8.6.

Критерий называется байесовским критерием, если для всякого другого критерия :

.

Указанные способы сравнения критериев не сообщают методов построения «наилучших» критериев – минимаксного, байесовского и рассмотренного ранее наиболее мощного. Заметим, что для построения любого критерия, как было замечено выше, достаточно указать разбиение выборочного пространства .

Выбор разбиения может быть основан на следующем простом рассуждении: пусть получена реализация наблюдения , сравним вероятность получения этой реализации в случае, когда верна гипотеза , и в случае, когда верна гипотеза . Если вероятность получения реализации наблюдения при верной гипотезе оказывается больше вероятности получения этого же наблюдения при верной гипотезе , тогда предпочтение следует отдать гипотезе , считая, что реализация наблюдения свидетельствует против гипотезы . Наоборот, если вероятность получения реализации наблюдения при верной гипотезе оказывается меньше вероятности получения этого же наблюдения при верной гипотезе , то предпочтение следует отдать гипотезе , считая, что реализация наблюдения свидетельствует против гипотезы .

Для придания приведенному рассуждению формального смысла ограничимся рассмотрением только простого случая, удовлетворяющего условиям:

(С1) при функция распределения имеет плотность вероятности .

(C2) во всем выборочном пространстве функции плотности и нигде не равны нулю:

: и .

Основная гипотеза утверждает, что плотность вероятности наблюдения есть функция , а альтернативная гипотеза утверждает, что плотность вероятности наблюдения есть функция .

Поскольку в силу предположения (С2) плотность вероятности для всех точек из , то во всех точках определено отношение .