Утверждение 8.9.

Пусть наблюдение имеет функцию распределения , для которой выполнены условия (С1) и (C2). Если

1) – критерий отношения вероятностей при некотором фиксированном такой, что ;

2) – произвольный критерий, отличающийся от , такой, что ,

Тогда:

.

Заметим, что каждый критерий отношения вероятностей полностью определяется величиной (действительно, по однозначно определяется множество , и, следовательно, однозначно определяется и множество ), поэтому вероятность ошибки первого рода и вероятность ошибки второго рода для критериев отношения вероятностей являются функциями :

,

.

Понятие о последовательных критериях и применение последовательных критериев в задаче различения двух простых гипотез, вероятности ошибок первого и второго родов и случайная величина количества шагов до остановки.

На каждом шаге последовательный критерий принимает в точности одно из следующих решений:

1. остановиться и принять гипотезу (отклонить );

2. продолжить и получить следующее наблюдение;

3. остановиться и принять гипотезу (отклонить ).

Рассмотрим основные положения последовательного анализа на примере следующей простой задачи различения двух простых гипотез. Поскольку количество случайных величин в наблюдении не ограничено, то следует считать, что задана последовательность случайных величин для которой определена последовательность функций распределения первых случайных величин:

,

.

Основная гипотеза заключается в том, что , а альтернативная гипотеза заключается в том, что .

Для каждого определим множества и : пусть – множество таких последовательностей , для которых критерий выбрал остановку на шаге и принял гипотезу , а множество – множество таких последовательностей , для которых критерий выбрал остановку на шаге и принял гипотезу .

Вполне очевидно, что при фиксированном :

,

поскольку критерий не может одновременно принять и и . Кроме того для любых и , :

,

,

поскольку критерий не может для одной и той же последовательности одновременно остановится на шаге и на шаге , если остановка произошла на шаге , то шага вовсе не будет.

Каждому последовательному критерию соответствуют конечные или счетные совокупности множеств и , и наоборот, задание двух совокупностей и однозначно определяет некоторый последовательный критерий , поэтому в дальнейшем будем использовать обозначение .

В соответствии с определением множеств и , множество есть множество последовательностей , при которых критерий останавливается и принимает гипотезу , множество есть множество последовательностей , при которых критерий останавливается и принимает гипотезу . Очевидно, что , но не обязательно .

Согласно определению вероятность ошибки первого рода критерия – это вероятность принять гипотезу в случае, когда верна гипотеза . Последовательный критерий принимает гипотезу , когда , а если верна гипотеза , то , поэтому вероятность ошибки первого рода критерия :

, .

где вероятность вычисляется при значении .

Вероятность ошибки второго рода – это вероятность принять гипотезу в случае, когда верна гипотеза . Последовательный критерий принимает гипотезу , когда , а если верна гипотеза , то , поэтому вероятность ошибки второго рода критерия :

, .