Утверждение 9.1.

Для матрицы порядка :

1) матрица неотрицательно определена, ;

2) если и ранг матрицы равен , тогда матрица положительно определена, .

Утверждение 9.2.

Пусть – вектор порядка и – матрица порядка , где , если – решение нормального уравнения:

,

тогда,

.

Если дополнительно ранг матрицы равен , тогда решение нормального уравнения единственно, дается равенством , и является единственным вектором, при котором принимает наименьшее значение.

Постановка задачи линейной регрессии с дополнительным предположением об остатках, теорема о свойствах оценки по методу наименьших квадратов, утверждение об оценке остаточной дисперсии. Понятия коэффициента детерминации и скорректированного коэффициента детерминации.

Пусть известно, что выполняется (9.1), тогда наблюдение имеет вид:

, …, ,

(9.4)

Будем дополнительно предполагать, что случайные величины , …, имеют следующие свойства:

1) , ; 2) , ; 3) , , .

(9.5)

Предположим, что на основании результатов предыдущего пункта получена оценка по методу наименьших квадратов . Оценка , зависящая от наблюдения , является векторной случайной величиной, поэтому возникает вопрос о свойствах оценки и о том каким образом связаны между собой оценка и неизвестный вектор параметров .