Ситуации, оптимальные по Паретто

Как уже отмечалось, формальное понятие оптимальности призвано отражать различные варианты содержательных представлений об устойчивости, выгодности и справедливости. Можно считать, что устойчивость ситуации проявляется в её равновесности.

Другой вариант устойчивости оптимальности ситуации в большей степени, чем равновесность, отражающей черты её выгодности, состоит в её оптимальности по Паретто.

Определение 6. Ситуация х ₀ в бескоалиционной игре называется оптимальной по Паретто, если не существует ситуации х Î C, для которой имеет место векторное неравенство

, для всех і Î І. (3.40)

Иными словами, в оптимальной по Паретто ситуации игроки не могут совместными усилиями увеличить выигрыш кого-либо из них, не уменьшив при этом выигрыш кого-либо другого.

Подчеркнем различие ситуации равновесия оптимальности по Нэшу от ситуации, оптимальной по Паретто: в первой ни один игрок, действуя в одиночку, не может увеличить свой собственный выигрыш; во второй – все игроки, действуя совместно, не могут (даже нестрого) увеличить выигрыш каждого.

Вопросы об оптимальных по Паретто ситуациях решаются в принципе проще, чем аналогичные вопросы о ситуациях равновесия (оптимальных по Нэшу).

Проиллюстрируем графический метод определения ситуаций оптимальных по Паретто. На рис. 3.21 изображено множество возможных стратегий Х ₁, Х ₂ для двух игроков. Каждой точке х Î C соответствует точка на множестве Н значений функций выигрышей Н ₁(х) и Н ₂(х) (рис. 3.22).

На рис. 3.22 дуга АСВ соответствует множеству ситуаций, оптимальных по Паретто, так как в этих случаях никакими совместными усилиями игроков нельзя увеличить выигрыш одного из них, не уменьшив при этом выигрыш другого.

Определение 7. Игра называется аффинно эквивалентной игре G, если число игроков , стратегии одной игры , (отсюда следует, что игры и имеют одно и то же множество ситуаций), а функции выигрыша

,

где , .

Различие между двумя аффинно-эквивалентными играми по существу состоит в различии начальных капиталов игроков и в соотношениях единиц измерения выигрышей, определяемых соответственно величинами C_i и k_i.

Для однородно аффинно-эквивалентных игр k_i=k, i N.

Очевидно, что для антагонистических игр понятия аффинной эквивалентности и однородной аффинной эквивалентности совпадают.

Теорема 1. Всякая бескоалиционная игра с постоянной суммой аффинно эквивалентна некоторой игре с нулевой суммой.

Теорема 2. Аффинно эквивалентные игры имеют одни и те же оптимальные по Паретто ситуации.

Рассмотрим пример для нахождения ситуации ситуаций, оптимальнойых по Паретто.

Пример 2. Игра “Война –мир (Дилемма заключенного)”.

Каждый из двух игроков располагает двумя стратегиями: А ₂ и В ₂ – стратегии агрессивного поведения, а А ₁ и В ₁ – миролюбивое поведение. Предположим, что “мир” (оба игрока миролюбивы) лучше для обоих игроков, чем “война”. Случай, когда один игрок агрессивный, а другой миролюбивый, выгоднее агрессору. Пусть матрицы выигрышей игроков 1 и 2 в данной биматричной игре имеют вид

Для обоих игроков агрессивные стратегии А ₂ и В ₂ доминируют мирные стратегии А ₁ и В ₁. Таким образом, единственное равновесие в доминирующих стратегиях имеет вид (А ₂, В ₂), т.е. постулируется, что результатом некооперативного поведения является война. В то же время исход (А ₁, В ₁) (мир) дает больший выигрыш для обоих игроков. Таким образом, некооперативное эгоистическое поведение вступает в противоречие с коллективными интересами. Коллективные интересы диктуют выбор мирных стратегий. В то же время, если игроки не обмениваются информацией, война является наиболее вероятным исходом.

В данном случае ситуация (А ₁, В ₁) является оптимальной по Паретто. Однако эта ситуация неустойчива, что ведет к возможности нарушения игроками установленного соглашения. Действительно, если первый игрок нарушит соглашение, а второй не нарушит, то выигрыш первого игрока увеличится до трех, а второго упадет до нуля и наоборот. Причем каждый игрок, не нарушающий соглашения, теряет больше при нарушении соглашения вторым игроком, нежели в том случае, когда они оба нарушают соглашение.

Как видим, в отличие от примера 1 (игра “семейный спор”), где кооперация игроков была им выгодна, в этом примере кооперация не выгодна для игроков.