Описание биматричных игр

Пусть в биматричной игре игрок 1 имеет m чистых А_і, , а игрок 2 имеет n чистых стратегий В_j, и в каждой ситуации (A_i, B_j) игрок 1 получает выигрыш a_ij, а игрок 2 – выигрыш b_ij. Значение обеих функций выигрыша игроков естественно представить в виде пары матриц

Поэтому такие игры и называются биматричными. Используют также запись платежных матриц А и В в следующем виде:

,

где “северо-западное” число в каждой клетке обозначает выигрыш первого игрока, а “юго-восточное” – выигрыш второго игрока.

Смешанные стратегии X и Y, естественно, понимаются как векторы, причем

и .

Выигрыш игроков 1 и 2 при применении смешанных стратегий равны

где Т – означает транспонирование, т.е. вектор-строка записывается как вектор-столбец; – смешанные стратегии игроков 1 и 2 соответственно.

Определение ситуации равновесия для случая биматричной игры приобретает следующую формулировку. Ситуация (X, Y) в биматричной игре с матрицами выигрышей А и В является равновесной, если

, (3.41)

. (3.42)

Очевидно, что при В = – А биматричная игра превращается в матричную.

В качестве примера рассмотрим биматричную игру “Торг”.

Пример. Игра “Торг”

Игрок 1 продает неделимый товар игроку 2. Игрок 1 должен решить, какую назначить цену: высокую или низкую. Для покупателя в принципе приемлемы обе цены. Покупатель не может спорить о цене, но он может либо сделать покупку, либо отказаться от нее.

Платёжные матрицы игроков имеют вид

Описание всех возможных ситуаций в этой игре позволяет определить, что ситуация (А ₁, В ₁) является оптимальной по Паретто и по Нэшу. Ситуация (А ₂, В ₂) также является оптимальной по Паретто, но не является устойчивой, т.е. оптимальной по Нэшу.

Рассмотрим способ нахождения устойчивых ситуаций для биматричных игр с произвольным количеством чистых стратегий игроков.