Виды зависимостей. Корр анализ; коэффициенты частной и множественной корреляции.

Зависимость: 1) Функциональная (функция, функционал, оператор)

2) Стохастическая (регрессия, корреляция)

Функционал совокупности функций ставит в соответствие совокупность чисел

Оператор Если заданы два произвольных множества Sx и Sy и дан закон, в соответствии с которым любому x будет соответствовать вполне определенный y, то говорят, что задан оператор.
Функция, Функционал и Оператор – отражают действие причинно-следственной связи.
Стохастическая связь - это такая зависимость, при которой определенному значению x будет соответствовать множество y.
Корреляционный момент (ковариация) или момент связи
Кхуназывают второй смешанный центральный момент, т.е. матем. ожидание произведения центрированных в-н

х°=x-mxи y°=y-my.
Kxy=M[(x-mx)(y-my)]
Коэффициентом корреляции случайных величин Х и У называется мат. ожидание произведения стандартных случайных величин
rxy=M[((x-mx)/σ x)((y-my)/σ y)]
rxy=Kxy/(σ xσ y)
коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной стохастической связи между случайными величинами

Корреляционный анализ изучает на основании выборки стохастическую зависимость между случайными переменными.
Для коэффициента корреляции ρ двух случайных величин х и у справедливо:
1) -1≤ ρ ≤ 1
2) при ρ =±1 имеется функциональная связь, т.е. все точки лежат на прямой
3) если ρ =0, то х и у –некоррелированы (но это не говорит об отсутствии связи. Две независимые случайные переменные всегда некоррелированы, но некоррелированные переменные необязательно независимы)
Параметр ρ оценивается с помощью: 1) выборочного коэффициента корреляции 2) частного коэффициента корреляции 3) множественного коэффициента корреляции 4) коэффициента корреляции по Спирмэну
5) квадратного коэффициента корреляции и углового критерия 6) коэффициента сопряженности 7) корреляционного отношения

Частные (парциальные) коэф. корреляции характеризуют тесноту связи между двумя случайными величинами системы при исключении влияния остальных случайных величин.
Частный коэф. корреляции в-н Х1и Х2, входящих в систему {Х1, Х2…Хn} относительно в-н Х3, Х4, …Хnобозначается через r12, 34…n

где Р12- минор детерминанта квадратной матрицы (матрицы коэф. корреляции), получаемой путем вычеркивания 1ойстроки и 2гостолбца, умноженной на (-1)1+2=-1

В отличие от коэф. множеств. корреляции коэф. частной корреляции как коэф. парной корреляции меняется в пределах от -1 до +1.
Пи наличии корреляции частный коэф. корреляции r12, 34…nв общем случае не равен коэф. парной корреляции r12.

Коэффициент множественной корреляции. (сводный коэф. корреляции)
Используется для описания системы сл. в-н {Х1, Х2…Хn}. Служит характеристикой корреляции между величиной Х1с одной стороны и всей совокупностью величин (Х2, Х3…Хn) с другой.
Р – детерминант квадратной матрицы коэф. коррел.

Р11– минор этого детерминанта

При n=3

Свойства
1. всегда является положительным числом 0≤ r1(23..n)≤ 1
2. при r1(23..n)=1 случайная величина Х1почти наверное равна линейной комбинации Х2, Х3…Хn.
3. равенство r1(23..n)=0 имеет место тогда, когда r12, r13, …r1n=0, т.е. случайная величина Х1не коррелированна со всеми остальными случайными величинами системы.