Умова колінеарності двох векторів. Поділ відрізка в даному відношенні

1. Нехай ненульові вектори колінеарні, , тобто існує таке число , що . В координатній формі:

(1)

Отже, умовою колінеарності двох векторів є пропорційність їх відповідних координат.

Приклад. Чи колінеарні вектори

?

Розв’язання. За умовою =(1, 2, -3),

=(-3, -6, 9), а за

формулою (1) маємо , або ще можна записати .

2. Поділ відрізка в даному відношенні. Знайти координати точки М(х, у, z), яка ділить відрізок в заданому відношенні (рис. 14), якщо відомі координати точки і , тобто:

М

Рис.14

Розглянемо вектори і . Оскільки і , то згідно з умовою (1) колінеарності векторів маємо

Зокрема, якщо точка М ділить відрізок пополам, то і координати середини відрізка:

Задача. Знайти координати центра мас трикутника АВС, у вершинах А(4, 0, -2), В(-2, 6, 4), С(7, -3, 4) якого зосереджені одиничні точкові маси.

Розв’язання. Побудуємо вершини трикутника за їх координатами (див. рис.) А(4, 0, -2), В(-2, 6, 4), С(7, -3, 4).

Знайдемо середину відрізка АВ, це точка М – основа медіани:

, M(1, 3, 1).