Скалярний добуток векторів

Означення. Скалярним добутком двох векторів (позначається ) називається число рівне добуткові модулів цих векторів, помноженому на косинус кута між ними:

. (1)

На основі властивості 1 проекцїї вектора рівність (1) запишеться:

(2)

У фізиці робота А сталої сили при прямолінійному переміщенні вздовж вектора шляху знаходиться як скалярний добуток цих векторів:

Основні властивості скалярного добутку.

Скалярний добуток комутативний

.

Випливає із (1).

Числовий множник можна виносити за знак скалярного добутку:

.

Для довільних векторів

.

Скалярний добуток двох векторів дорівнює нулю () тоді і тільки тоді, коли один із них є нульовим вектором, або коли ці вектори перпендикулярні .

Таблиця скалярного множення ортів. Згідно означення (1) , аналогічно , а за властивістю (4) .

Отже, скалярний добуток одноіменних ортів дорівнює одиниці, а різноіменних - 0.

Скалярний добуток векторів в координатній формі. Якщо , то .

Дійсно, за допомогою властивостей маємо

Оскільки добуток одноіменних ортів дорівнює 1, а різноіменних – 0, то отримуємо формулу скалярного добутку у координатній формі:

. (3)

Приклад 1. Знайти скалярний добуток векторів і .

Розв’язання: За формулою (3) маємо:

.

Приклад 2. Задані точки А(3, 2, 3), В(1, -4, 3), С(-4, 5, 1). Знайти скалярний добуток векторів .

Розв’язання. Спочатку знайдемо вектори

За формулою (3) маємо

.

Довжина вектора. Якщо в (1) , то

Відстань між двома точками. і знаходиться як довжина вектора за формулою (4):

Косинус кута між двома векторами отримаємо із формули (1) із врахуванням (3) і (4):

Приклад 3. Задані точки . Для паралелограма, побудованого на векторах і обчислити: 1)довжини сторін, тобто і ; 2) косинус та синус, кута ; 3) площу.

Розв’язання. Знаходимо вектори тоді: 1) , . 2) (кут - тупий), . 3)

.

Приклад 4. Знайти модуль вектора , якщо

.

Розв’язання. За формулою (4) . Знаходимо

,

тоді .

Умова перпендикулярності двох ненульових векторів випливає із властивості 4^° і формули (3)

Проекція вектора на вектор знаходиться із врахуванням (3) і (4):

Теорема. Декартові прямокутні координати вектора в базисі є його проекціями на відповідні осі координат.

Дійсно, згідно з (9) маємо

Напрямними косинусами вектора називаються косинуси кутів , утворених між вектором та координатними осями ОХ, ОУ, ОZ (див. рис. 19)

Приклад. Знайти напрямні косинуси вектора та значення виразу .

Розв’язання.

.

Рис. 19

Легко перевірити, що для довільного вектора

Напрямні косинуси вектора повністю визначають напрямок вектора і є координатами одиничного вектора , що збігається за напрямком з , тобто: