Совместное вычисление коэффициента корреляции и корреляционного отношения между взвешенными рядами

Совместное вычисление производят в случае, когда требуется дать количественную оценку степени криволинейности корреляционной связи, при этом определяют коэффициент детерминации r² и точки эмпирической линии (табл. 13).

Для вычисления в табл. 13 составляют корреляционную решетку, суммируют частоты по столбцам (n_x) и по строкам (n_у). Условные отклонения а_х и а_у берутся от начала рядов, начиная с 0. Далее в столбцах получают суммы произведений частот на соответствующие им условные отклонения у (для первого столбца: 1 · 4 + 1 · 3 + 1 · 2 + 2 · 1 + 2 · 0 = 11). Полученные суммы произведений ∑ f·a_y возводят в квадрат и делят на сумму частот в столбце: (∑ f·a_y)·n_x =11²/7=17, 29, и т.д.

Необходимо получить точки корреляционной связи (регрессии). Для этого вначале суммы произведений частот на а_у делят на соответствующие им в столбцах n_x: для первого столбца ∑ f·a_y/ n_x=11/7=1, 57, и т.д.

Каждое из полученных значений умножают на величину классового интервала k (у нас k = 1) и к каждому полученному значению прибавляют минимальное значение ряда У (в нашем примере оно равно 4): 1, 57 · 1 + 4 = 5, 57, и т.д.

Таблица 13

Расчет показателей для совместного вычисления коэффициента корреляции и корреляционного отношения

Здесь f – частота, n – сумма частот, а – условное отклонение, N – число наблюдений.

Полученные значения 5, 57; 5, 11; 5, 94 и т.д.являются точками регрессии у/x (у по х). С использованием точек строится эмпирическая линия регрессии (рис.13).

Суммы частот в столбцах n_x умножают на условные отклонения:

7 · 0² + 19 · 1² + 16 · 2² ...+ 4 · 7² = 315

Далее получают сумму n_x· a²_x:

7 · 0² + 19 · 1² + 16 · 2² +…+ 4 · 7² = 1357. Аналогично этим действиям получают суммы n_y a_y и n_y a²_y:

∑ n_y a_y = 25 · 0 + 20 · 1 + 27 · 2 +…+ 1 · 8 = 188

∑ n_y a²_y= 25 · 0² + 20 · 1² + 27 · 2² +…+ 1 · 8² = 654

Далее получают сумму а_х·∑ f · a_y:

∑ (а_х·∑ f · a_y) = 0 · 11 + 1 · 21 + 2 · 31 +…+ 7 · 16 = 684

Используя полученные в таблице суммы, рассчитывают коэффициент корреляции (r) и корреляционное отношение (η).

Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

r= (46)

r= = = = 0, 276

Корреляционное отношение вычисляется через его квадрат по формуле:

η ² = (47)

η ² = = = = 0, 116

Отсюда η = = 0, 340

Оценку достоверности коэффициента детерминации r ² производят по критерию Фишера F.

Оценка степени криволинейности связи осуществляется несколькими способами. Наиболее простые из них два способа:

а) η ² _у/x – r ² ≥ 0, 1 (48)

Связь считается криволинейной, если разность квадратов η ² и r ² равна или превышает 0, 1.

Рис. 13. Эмпирическая и теоретическая линии связи высоты однолетних сеянцев сосны (у) и длины их корневых систем (х).

В нашем примере показатель криволинейности равен 0, 340² –0, 276² = 0, 040, следовательно, связь не является криволинейной.

б) N (η ² _у/x – r ²) ≥ 11, 37, (49)

где 11, 37 – критерий криволинейности Блэкмана.

В нашем примере 100 · (0, 340² – 0, 276²) = 100 · 0, 040 = 4 < 11, 37.

С помощью критерия Блэкмана подтверждена прямолинейность связи высоты надземной части однолетних сеянцев сосны с длиной их корневых систем (рис. 13).

В заключение отметим некоторые особенности, имеющие важное значение для анализа корреляционной связи, результаты которого получены в нашем примере:

Коэффициент корреляции, рассчитанный двумя способами, имеет одно и то же значение (r = 0, 276).

Предпочтение следует отдать второму способу совместного вычисления коэффициента корреляции и корреляционного отношения, так как этот способ позволяет: 1) определить ординаты связи и построить эмпирический график регрессионной связи; 2) определить степень кривизны связи; 3) рассчитать коэффициент детерминации и корреляционное отношение; 4) оценить уровень статистической достоверности коэффициента детерминации (r²) прямолинейной связи.

Не подтвердилось высказанное первоначальное мнение о наличии криволинейной зависимости высоты однолетних сеянцев сосны от длины их корневой системы.