Линейная регрессия

Она характеризует наиболее простой и распространенный тип зависимости, выраженный формулой

у = а·х + b, (__)

где а – размерный коэффициент, характеризующий скорость изменения функции у по мере изменения аргумента х, то есть

а = (у₂ – у₁) · (х₂ – х₁) (рис.__); b – значение у при х = 0.

Линейная связь может быть как положительной, так и отрицательной, когда соответственно коэффициент а > 0 и коэффициент корреляции r > 0 или а < 0 и r < 0 (рис.__).

Рис. 8. Линейная регрессия (уравнение прямой):

а – угловой коэффициент, характеризующий скорость изменения «у» при изменении «х»;

б – значение «у» при «х» = 0;

r – коэффициент кореляции.

Для вычисления коэффициентов уравнения прямой связи заполняют таблицы 15 и 16, вычисление производят с использованием уравнений (1) и (2) с последующей оценкой достоверности полученного уравнения прямой связи коррелируемых признаков.

Таблица 15

Расчет показателей для вычисления уравнения связи длины корневых систем (х) и высоты сеянцев (у)

Таблица 16

Расчет показателей для вычисления уравнения связи длины корней (х) и высоты сеянцев (у)

8 а₀ + 88 а₁ = 47, 6

88 а₀ + 1136 а₁ = 555, 9

_ 88 а₀ + 1136 а₁ = 555, 9

88 а₀ + 968 а₁ = 523, 6

168 а₁ = 32, 3

а₁ = = 0, 1923; а₀ вычисляется, исходя из уравнения (1);

а₀ = = = = 3, 84

Уравнение регрессии принимает вид:

у = а₀ + а₁х = 3, 84 + 0, 1923 х

Ошибку уравнения регрессии вычисляют по формуле:

m_yx= , (51)

где m_yx – ошибка уравнения регрессии,

у – эмпирические значения функции,

у ^/ – теоретические значения функции,

N – число точек эмпирической линии регрессии, n – число коэффициентов уравнения, включая свободный член.

m_yx= = ± 0, 47

Таким образом высоту сеянцев можно вычислить по формуле

у = 3, 84 + 0, 1923х с ошибкой ± 0, 47

На основании рассчитанных частот у ^/ (табл. 16) строят график прямолинейной регрессии (рис. 13).

Точка пересеченных линий регрессии с осью ординат у = а₀ = 3, 84.

Основным параметром прямолинейной регрессии является а₁, поэтому рекомендуется оценить достоверность его отличия от нуля; степень достоверности коэффициента а₁ отражает наличие или отсутствие корреляционной связи между признаками. Оценка достоверности производится по t – критерию Стьюдента по формуле:

t = , (55)

где t – величина критерия Стьюдента,

а₁ – коэффициент при аргументе в уравнении прямой линии,

– стандартное отклонение ряда аргумента,

ошибка уравнения,

N – объем выборки (число классов).

t = = = 1, 06

Вычисление представляется читателю. Если вычисленная величина t-критерия меньше табличной, то связь между х, у и значение а₁, достоверны. Табличное значение t-критерия на 5% уровне значимости при числе степеней свободы у = N – 2 составляет:

N 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200

t 1, 46 1, 27 1, 20 1, 15 1, 11 1, 08 1, 06 1, 04 1, 03 1, 02 0, 95.

Второй способ вычисления уравнения коэффициентов х₀ и а₁ прямой связи применяется, если известны коэффициент корреляции r и стандартные отклонения коррелируемых рядов. Вычисление ведется по формуле:

а₁ = r_xy (53)

Коэффициент а₀ вычисляют по использованному выше уравнению (1), когда было найдено значение а₀ = 3, 84.

Выше рассмотрен порядок оценки тесноты парной прямолинейной и криволинейной связи с помощью коэффициента корреляции r, корреляционного отношения η и показателя силы связи (взаимообусловленности изменчивости, детерминации) r² и порядок вычисления уравнения прямолинейной регрессии у = а₀ + а₁х.