![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Пример 2.7.
Компания производит краску для внутренних и наружных работ из сырья двух типов: М1 и М2.
Необходимая информация представлена в следующей таблице:
Отдел маркетинга компании ограничил ежедневное производство краски для внутренних работ до 2 т, а кроме того этот показатель не должен превышать более чем на тонну показатель выпуска краски для внешних работ. Цель компании: Определить оптимальное соотношение между видами выпускаемой продукции для максимизации общего ежедневного дохода. Составленная математическая модель задачи выглядит следующим образом: Максимизировать Z при выполнении ограничений 6x1 + 4x2 ≤ 24 x1 + 2x2 ≤ 6 x2 ≤ 2 x2 –x1 ≤ 1 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0
В результате применения графического метода решения ЗЛП, получим (рис. 2.6).
Рис. 2.6. Решением задачи является точка с координатами: x1 = 3; x2 = 1, 5. Целевая функция при таком решении принимает значение Z = 21 тыс. дол. Проведем для данной задачи анализ чувствительности. Рассмотрим два случая: 1) изменение коэффициентов целевой функции; 2) изменение значений констант в правой части неравенств-ограничений. 1. Изменение коэффициентов целевой функции. В общем виде целевую функцию задачи ЛП можно записать следующим образом: Максимизировать или минимизировать Z Изменение значений коэффициентов c1 и c2 приводит к изменению угла наклона прямой Z. Графический способ решения показывает, что это может привести к изменению оптимального решения: оно будет достигаться в другой угловой точке пространства решений. Вместе с тем, очевидно, существуют интервалы изменения коэффициентов c1 и c2, когда текущее оптимальное решение сохраняется. Задача анализа чувствительности и состоит в получении такой информации. В частности, представляет интерес определение интервала оптимальности для отношения c1 /c2 (или, что то же самое, для c2 /c1); если значение отношения c1 /c2 не выходит за пределы этого интервала, то оптимальное решение в данной модели сохраняется неизменным. На рис. 2.6 видно, что функция Z или
В первой системе неравенств условие Рис. 2.7.
Итак, если коэффициенты c1 и c2 удовлетворяют приведенным выше неравенствам, оптимальное решение по-прежнему будет достигаться в точке С. Отметим, если прямая Z Приведенные выше неравенства можно использовать при определении интервала оптимальности для какого-либо одного коэффициента целевой функции, если предположить, что другой коэффициент остается неизменным. Например, зафиксируем значение коэффициента c2 (пусть c2 = 4), тогда интервал оптимальности для коэффициента c1 получаем из неравенств Это означает, что при фиксированной цене на краску для внутренних работ цена на краску для наружных работ может меняться в интервале от 2 тыс. дол. за тонну до 6 тыс. дол. за тонну, при том, что оптимальное соотношение (решение) останется неизменным. Аналогично, если зафиксировать значение коэффициента c1 (пусть c1 = 5), тогда из неравенства 2. Изменение значений констант в правой части неравенств-ограничений. Стоимость ресурсов. Во многих моделях линейного программирования ограничения трактуются как условия ограниченности ресурсов. В таких ограничениях правая часть неравенств является верхней границей количества доступных ресурсов. Рассмотрим на примере чувствительность оптимального решения к изменению ограничений, накладываемых на ресурсы. Такой анализ задачи ЛП предлагает простую меру чувствительности решения, называемую стоимостью единицы ресурса; при изменении количества доступных ресурсов (на единицу) значение целевой функции в оптимальном решении изменится на стоимость единицы ресурса. В данной примере первые два неравенства представляют собой ограничения на использование сырья М1 и М2 соответственно. Определим стоимость единиц этих ресурсов. В нашей задаче оптимальное решение достигается в точке С, являющейся точкой пересечения прямых, соответствующих ограничениям на сырье М1 и М2. При изменении уровня доступности материала М1 (увеличение или уменьшение текущего уровня, равного 24 т) точка С оптимального решения «плывет» вдоль отрезка DG (рис. 2.8).
Рис. 2.8 Любое изменение уровня доступности материала М1, приводящее к выходу точки пересечения С из этого отрезка, ведет к неосуществимости оптимального решения в точке С. Поэтому можно сказать, что концевые точки D = (2, 2) и G = (6, 0) отрезка DG определяют интервал осуществимости для ресурса М1. Количество сырья М1, соответствующего точке D = (2, 2), равно 6x1 + 4x2 = 20 т. Аналогично, количество сырья, соответствующего точке G = (6, 0), равно 36 т. Таким образом, интервал осуществимости для ресурса М1 составляет 20 ≤ М1 ≤ 36. Если определить М1 как М1 = 24 + D1, где D1 – отклонение количества материала М1 от текущего уровня в 24 т, тогда последние неравенства можно переписать как 20 ≤ 24 + D1 ≤ 36 или -4 ≤ D1 ≤ 12. Это означает, что текущий уровень ресурса М1 может быть уменьшен не более чем на 4 т и увеличен не более чем на 12 т. В этом случае структура оптимального решения не изменится. Вычислим стоимость единицы материала М1. При изменении количества сырья М1 от 20 до 36 тонн, значения целевой функции Z будут соответствовать положению точки С на отрезке DG. Обозначив через y1 стоимость единицы ресурса М1, получим следующую формулу:
Если точка С совпадает с точкой D = (2, 2), то Z = 5 ´ 2 + 4 ´ 2 = 18 (тыс. дол.), если же точка С совпадает с точкой G = (6, 0), тогда Z = 5´ 6 + 4´ 0 = 30 (тыс. дол.). Отсюда следует, что
Этот результат показывает, что изменение количества ресурса М1 на одну тонну приводит к изменению в оптимальном решении значения целевой функции на 750 дол. Рассмотрим ресурс М2. На рис. 2.9 видно, что интервал осуществимости для ресурса М2 определяется концевыми точками В и Н отрезка ВН, где В = (4, 0) и Н = (8/3, 2).
Рис. 2.9 Точка Н находится на пересечении прямых ЕD и ВС. Находим, что количество сырья М2, соответствующего точке В, равно x1 + 2x2 = 4 + 2 ´ 0 = 4т, а в точке Н – 20/3 т. Значение целевой функции в точке В равно Z = 5 ´ 4 + 4 ´ 0 = 20 тыс. дол., а в точке Н: Z = 5 ´ ´ 8/3 + 4 ´ 2 = 64/3 тыс. дол. Отсюда следует, что количество сырья М2 может изменяться от 4 до 20/3 тонн, а стоимость единицы ресурса М2, обозначенная как y2, равна
|