Примеры А

1. Докажем, что множество А всех положительных четных целых чисел равно множеству В положительных целых чисел, представимых в виде суммы двух положительных нечетных целых чисел. Допустим вначале, что х Î А, и докажем, что х Î В. Если хÎ А, то х = 2т, так что x=(2m - 1) +1. Это и означает, что х Î В. Предположим теперь, что хÎ В, и выведем отсюда, что х Î А. Если х Î В, то х = (2р-1)+(2 q-1), откуда x = 2 (p + q - 1), из чего следует, что х Î А. Таким образом, мы доказали, что множества А и В состоят из одних и тех же
элементов.

2. {2, 4, 6} есть множество, состоящее из первых трех положительных четных целых чисел. Поскольку { 2, 4, 6} и {2, 6, 4} состоят из
одних и тех же элементов, они являются равными множествами. Кроме
того, по той же причине {2, 4, 6} = {2, 4, 4, 6}.

3. Элементы какого-либо множества сами могут быть множествами.
Например, географическая область, известная как Соединенные Штаты
Америки, есть множество из 50 элементов - штатов, каждый из которых,
в свою очередь, есть множество округов. Далее, {{1, 3}, {2, 4}, {5, 6}}
есть множество из трех элементов, а именно: {1, 3}, {2, 4} и {5, 6}.
Множества {{1, 2}, {2, 3}} и {1, 2, 3} не равны, так как элементами
первого являются {1, 2} и {2, 3}, а элементами второго - 1, 2 и 3.

4. Множества {{1, 2}} и {1, 2} не равны, так как первое - одноэлементное множество, имеющее единственным своим элементом {1, 2}, а второе имеет своими элементами 1 и 2. Это иллюстрирует то общее замечание, согласно которому следует различать предмет и множество, единственным элементом которого является этот предмет.

Сделаем небольшое отступление, чтобы пояснить символику, исполь­зуемую нами при обсуждении теории множеств. Как правило, мы будем пользоваться строчными курсивными латинскими буквами для обозначе­ния элементов, а для обозначения содержащих их множеств будем упо­треблять (пока) прописные курсивные латинские буквы. Далее, для обозначения множеств некоторых определенных видов мы будем исполь­зовать строчные греческие буквы. Если элементы какого-либо множества в свою очередь являются множествами и если мы желаем подчеркнуть это обстоятельство в обсуждении, мы будем употреблять для обозначе­ния таких множеств, содержащих множества, прописные рукописные ла­тинские буквы и будем называть их системами множеств. Например, мы можем в случае необходимости говорить о системе F всех конечных множеств А целых чисел х. Можно сказать в качестве мнемонического правила, что уровень, занимаемый множеством в рассматриваемой ие­рархии множеств, определяется размером и фасоном буквы, используемой для его обозначения.

Обозначение множества с помощью фигурных скобок, употребитель­ное для явного задания множеств, составленных из небольшого числа элементов, слишком громоздко, чтобы его использовать для задания множеств, имеющих хотя и конечное, но большое число элементов, и вовсе неприменимо для бесконечных множеств (множеств, имеющих бесконечно много элементов). Как можно задать множество, состоящее из большого числа элементов? Имеется инстинктивная тенденция различать конечные и бесконечные множества, исходящая из того, что конечное множество можно фактически представить в виде некоторой полностью составленной совокупности, а бесконечное - нельзя. Однако обширные конечные мно­жества (например, описанное в § 1.1 множество книг) в той же мере «не­исчерпаемы», как и любое бесконечное множество. Такого рода примеры приводят нас к заключению, что проблемы эффективного описания ка­кого-либо обширного конечного множества и описания бесконечного мно­жества практически представляют собой одну и ту же проблему.

Обычное решение этой проблемы, исходящее от Кантора, основано на понятии «формы от x»1. Пока мы ограничимся следующим интуитив­ным описанием. Будем понимать под высказыванием повествовательное предложение, которое можно охарактеризовать как истинное или ложное. Тогда под формой от х мы будем понимать конечную последователь­ность, состоящую из слов и символа х, такую, что если каждое вхож­дение х в эту последовательность заменить одним и тем же именем не­которого предмета соответствующего рода, то в результате получится высказывание. Например, каждое из следующих выражений есть форма от x:

5 делит х; х ² + х + 1 > x;

x любит Джона; х² = 2.

х < х

Напротив, ни одно из следующих выражений формой от х не является:

для всех х х² - 4 = (х - 2)(x + 2);

существует такое х, что х^г £ .0.

Каждое из них попросту является высказыванием. С точки зрения грам­матики форму от х можно определить и по-другому - как предложение, в котором что-то утверждается об х. Ясно, что каждое предложение первого из приведенных списков обладает этим качеством, предложе­ния же из второго списка не обладают им. Еще один, отличный от пре­дыдущих подход к понятию формы использует понятие функции — так, как оно употребляется в элементарной математике. Форма от х может быть определена как функция одной переменной х, значениями которой (при надлежащим образом выбранной области определения функции) являются высказывания.

Мы будем пользоваться прописными латинскими буквами, стоящими перед символом (х) для обозначения форм от х. Если в некотором конкретном контексте Р (х) обозначает какую-либо определенную форму, то Р (а) будет обозначать ту же самую форму, но с заменой х на а.

Наша цель описывать множества в терминах форм достигается с по­мощью следующего принципа.

Интуитивный принцип абстракции1. Любая, форма Р (х) определяет некоторое множество А посредством условия, согласно которому элементами множества А являются в точности такие предметы а, что Р (а) есть истинное высказывание.

Поскольку множества, состоящие из одних и тех же элементов, равны, то любая данная форма Р(х) определяет в точности одно, вполне определенное множество, обычно обозначаемое в математике через

{ x ½ P (x)},

что читается так: «множество всех таких х, что Р (х)». Таким образом,
аÎ { x ½ P (x)}в том и только в том случае, если Р(а)—истинное выска­зывание. Можно сказать, что решение вопроса, является ли данный предмет а элементом множества { x ½ P (x)}, есть решение вопроса, обла­дает ли а некоторым определенным свойством (качеством). Поэтому, когда какую-нибудь форму от х, Р (х), используют для построения некоторого множества, ее обычно называют свойством x- а(property of x)или, по-дру­гому, определяющим свойством множества { x ½ P (x)}. В таком случае принцип абстракции можно сформулировать в виде утверждения: «Каждое свойство определяет некоторое множество».

Мы допускаем возможность вхождения в форму от х других симво­лов, отличных от х. Если Р (х) есть форма от х, а у - символ, не вхо­дящий в Р(х), то свойства Р(х) и Р (у) неразличимы, так что { x ½ P (x)} = { y ½ P (y)}. Равенство это, однако, не обязательно справедливо в том слу­чае, когда у входит в Р(х). Например,

{ х ½ х делится на и }= { у ½ у делится на и },

но

{ х ½ х делится на и } ¹ { у ½ у делится на и }.

С другой стороны, если F (х) и G (х) - два свойства, такие, что F (х) справедливо для х тогда и только тогда, когда G(x) справедливо для х, то согласно принципу объемности { x ½ F (x)}={ x ½ G (x)}. Например,

{ x ½ x Î A и x Î В }= { x ½ x Î В и x Î А },

и

{ x ½ x Î Z⁺ и x < ½ 5}= { x ½ x Î Z⁺ и (x+1)²£ 29}.