Включение

Теперь мы введем еще два отношения между множествами. Если А и В суть множества, то говорят, что А включено в В (символическая за­пись: А Í В), если каждый элемент множества А является элементом множества В. В этом случае говорят также, что множество А есть под­множество множества В. Далее мы условимся считать выражение «В включает А» (символически: В Ê А)синонимом для «А включено в В». Таким образом, как А Í В, так и В Ê А означает, что для каждого х, если х Î А, то х Î В. Множество А строго включено в В (символически: А Ì В), или, по-другому, В строго включает А, или А есть истинное подмножество В, если А Í В и А ¹ В. Например, множество четных чисел строго включено, в множество Z целых чисел, а множество Q рациональных чисел строго включает Z.

Основные свойства отношения включения следующие:

Х Í Х;

X Í Y и Y Í Z влечет X Í Z;

Х Í У и У Í Х влечет X = Y.

Последнее из этих соотношений выражает в терминах отношения включения два шага в доказательстве равенства двух множеств: для того чтобы доказать, что X = Y, надо доказать, что X Í Y, а затем, что Y Í Х.

Для отношения строгого включения справедлив аналог лишь одного
из этих трех свойств - второго. Доказательство того, что X Ì Y и Y Ì Z
влекут X Ì Z, составляет предмет одного из упражнений в конце этого
параграфа. Там же читатель найдет и другие свойства строгого вклю­чения, в том числе вытекающие из свойств отношения включения, част­ным случаем которого оно является.

Поскольку начинающие склонны смешивать отношения принадлеж­ности и включения, мы при каждом удобном случае будем подчерки­вать различия между ними. Заметим сразу же, что аналоги первых двух из перечисленных выше свойств отношения включения для отношения принадлежности не верны. Например, если X есть множество простых чисел, то Х Ï Х. Другой пример: хотя 1Î Z и ZÎ {Z}, не верно, что 1 Î {Z}, так как единственный элемент множества {Z}—это множество Z.

Обратимся теперь к рассмотрению подмножеств какого-либо мно­жества, т. е. множеств, включенных в некоторое множество. Образова­ние новых множеств из уже имеющегося множества — процедура, игра­ющая важную роль в теории множеств. Определять подмножества дан­ного множества позволяет принцип абстракции. В самом деле, если Р (х)есть форма от х и А есть некоторое множество, то форма

х Î А и Р (х)

определяет то множество, которое мы выше условились обозначать через
{ х Î А ç Р (х)}. Если А — произвольное множество, а в качестве Р (х)мы выберем х ¹ х, то результат будет { х Î А ç х ¹ х } — это множество, оче­видно, не имеет элементов. Из принципа объемности следует, что может быть только одно множество, не имеющее элементов. Мы будем назы­вать это множество пустым множеством и обозначать его через

Æ.

Пустое множество есть подмножество любого множества. Чтобы уста­новить это, надо доказать, что если А есть произвольное множество, то каждый элемент множества Æ есть элемент множества А. Поскольку Æ не имеет элементов, это условие выполняется автоматически. Хотя такое рассуждение правильно, в нем есть нечто неудовлетворительное. Имеется и другое, косвенное доказательство, которое может оказаться более удоб­ным. Допустим, что Æ Í А ложно. Это может быть лишь в том случае, если существует некоторый элемент множества Æ, не являющийся эле­ментом множества А. Но это невозможно, так как Æ не имеет элементов. Значит, Æ Í А не является ложным, т. е. Æ Í А.

Каждое множество А ¹ Æ имеет по крайней мере два различных подмножества: само А и Æ. Кроме того, каждый элемент множества А определяет некоторое подмножество множества А. Если а Î А, то { а } Í А. В некоторых случаях бывает нужно говорить не об отдельных подмножествах некоторого множества, а о множестве всех подмножеств этого множества. Множество всех подмножеств множества А называется множеством-степенью множества А и обозначается через

P (А).

Таким образом, P (А) есть сокращенное обозначение для

{ В ç В Í А }.

Например, если А = {1, 2, 3}, то

P (А) = { А, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3}, Æ }.

В качестве другого примера различия между отношениями принадлеж­ности и включения мы отметим, что если В Í А, то B Î P (А), а если а Î А, то { а } Í А и { а } Î P (А).

Термин «множество-степень множества А» в качестве наименования множества всех подмножеств множества А ведет свое происхождение от того случая, когда А есть конечное множество; в этом случае для А, состоящего из п элементов, P (А) имеет 2ⁿ элементов. Чтобы дока­зать это, рассмотрим следующую схему для описания подмножества В множества А = {а₁,..., а_п }: последовательность п нулей и единиц, первый член которой есть 1, если а₁ Î В, и 0, если а₁Ï В, второй член есть 1, если а₂ Î В, и 0, если а₂Ï В, и т. д. Ясно, что каждое подмножество множества А можно поставить в соответствие некоторой такой последовательности нулей и единиц; например, если п = 4, то { a₁, а₃ }определяет последовательность 1010 и само определяется ею. Поскольку общее количество таких последовательностей равно 2× 2×... × 2 = 2ⁿ, число элементов множества P (А) также равно 2ⁿ.