Примеры В

1. Введение в обращение бесконечных множеств с помощью опреде­ляющих их свойств - процедура, хорошо знакомая каждому, изучавшему аналитическую геометрию. Обычное определение таких геометрических мест, как, скажем, конические сечения, придется слегка переформули­ровать. Например, окружность радиуса 2 с центром в начале координат есть множество всех таких х, что х есть точка плоскости и х находится на расстоянии в две единицы от начала координат.

2. Легко видеть, что следующие выражения представляют собой мно­жества, определенные посредством некоторых свойств:

(а) { х ½ х есть целое число, большее 1 и не имеющее делителей, меньших или равных х ^1/2};

(b) { х ½ х есть положительное целое число, меньшее 9};

(с){ х ½ х есть кривая третьего порядка в координатной плоскости};

(d) { х ½ х есть функция, непрерывная на замкнутом отрезке от 0 до 1}.

3. { х ½ х = х₁ или х = х₂ или... или х = х_п }есть множество, которое
мы выше договорились обозначать через { х₁, х₂,..., х_п }.

4. В некоторых случаях язык позволяет нам дать более краткое определение какого-либо конечного множества, чем то, которое получается
перечислением его элементов. Например, некоторое конкретное множество
из 100 людей может быть более коротко определено с помощью свойства
«х - сенатор», нежели перечислением имен его элементов1.

5. Если А - множество, то х Î А есть форма от х, которая может
быть использована в качестве определяющего свойства некоторого множества. Поскольку у Î { x ½ x Î A }в том и только в том случае, если у Î А, то по принципу объемности

А = { x ½ x Î A }.

Для обозначения множеств используются и различные видоизменения основной скобочной записи. Например, для того чтобы обозначить мно­жество всех предметов, являющихся элементами множества А и обла­дающих свойством Р, вместо { х | х Î А и Р (х)}часто пишут; { х Î А ½ Р (x)}. Это множество можно по-другому охарактеризовать как «множество всех элементов из А, обладающих свойством Р (х)», и новая запись как раз отражает этот способ описания. Например, { хÎ R | 0£ x £ 1} обозначает множество всех действительных чисел между 0 и 1 (включительно), а { x Î Q⁺ | x ²< 2} - множество всех положительных рациональных чисел, квадраты которых меньше числа 2.

Если Р (х) есть некоторое свойство, а f - функция, то через

{ f (x)½ Р (x)}

мы будем обозначать множество всех таких у, для которых имеется х, обладающий свойством Р (х) и такой, что y = f (x). Например, вместо того, чтобы писать { у ½ имеется такой х, что х есть целое число и у = 2х }, мы будем писать

{2 x ½ x Î Z}.

Аналогично через { х ² ½ x Î Z } обозначается множество квадратов целых чисел. Такие обозначения допускают естественные обобщения; для пони­мания смысла в каждом конкретном случае достаточно опираться на интуицию. Скажем, имея дело с координатной плоскостью, точки кото­рой отождествляются с элементами множества R² всех упорядоченных пар < x, у > [1]действительных чисел х и у, естественно понимать под {< x, y > Î R² ½ y = 2x } прямую, проходящую через начало координат и имеющую угловой коэффициент, равный 2.

Принцип объемности, принцип абстракции и принцип выбора (пока,
за ненадобностью, не сформулированный) на которой строится канторовская теория множеств. Интересно отметить, что, хотя мы и постарались, прежде чем вводить первые два из этих принципов, пояснить, что такое множество, ни один из этих принципов (так же как и третий) не использует определение термина «множество». Факти­чески каждый из них есть некоторое допущение о множествах. Основ­ное понятие, используемое при формулировке этих принципов, - это принадлежность. Таким образом, в качестве важнейшего понятия теории множеств выступает не столько само понятие множества, сколько отно­шение принадлежности.

Мы уже упоминали о том, что в интуитивной теории множеств могут быть получены противоречия. Источником этих неприятностей является неограниченное употребление принципа абстракции. Самым простым из известных теоретико-множественных противоречий является то, которое было открыто Бертраном Расселом в 1901 году. Оно связано с мно­жеством R, определяющим свойством которого служит форма х Ï х, и может быть сформулировано следующим образом: с одной стороны, RÎ R, а с другой — RÏ R. Неформальные доказательства обоих этих противо­речащих друг другу утверждений читатель проведет без труда.