Задача 2. По данным задачи 1, используя критерий c2 - Пирсона, при уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том

По данным задачи 1, используя критерий c² - Пирсона, при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – сумма вклада – распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

2. Решение.

Проверяется гипотеза Н₀: случайная величина Х – сумма вклада – распределена по нормальному закону. Функция плотности вероятности и функция распределения имеют вид

, где а, s - параметры распределения.

В качестве оценок этих параметров возьмем выборочное среднее значение и дисперсию.

282; s = 111, 696.

Тогда и .

Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона по формуле

, где

m - число интервалов; n_i - частота (эмпирическая); n - объем выборки; p_i - теоретическая

вероятность попадания случайной величины в i -ый интервал; np_i - теоретическая частота.

Вероятность p_i попадания случайной величины Х в интервал (x_i; x_{i +1}) найдем по формуле

p_i = P (x_i < X < x_{i +1}) =

.

= 0, 5 × (Ф(-1, 18) - Ф(-2, 08)) = 0, 5 × (-0, 7620 + 0, 9625) = 0, 1002.

= 0, 5 × (Ф(-0, 29) - Ф(-1, 18)) = 0, 5 × (-0, 2282 + 0, 7620) = 0, 2669.

= 0, 5 × (Ф(0, 61) - Ф(-0, 29)) = 0, 5 × (0, 4581 + 0, 2282) = 0, 3432.

= 0, 5 × (Ф(1, 50) - Ф(0, 61)) = 0, 5 × (0, 8664 - 0, 4581) = 0, 2041.

= 0, 5 × (Ф(2, 40) - Ф(1, 50)) = 0, 5 × (0, 9836 - 0, 8664) = 0, 0586.

Для расчета составим вспомогательную таблицу

2, 0955.

Найдем по таблице критическое значение критерия , k = m – s – 1, m = 5 - число интервалов, s = 2 - число параметров распределения, a = 0, 05 - уровень значимости, k = 5 - 2 - 1 = 2, = 5, 99.

Сравниваем наблюдаемое значение критерия с критическим

2, 0955 < 5, 99. Это означает, что наблюдаемое значение не попало в критическую область. Поэтому гипотеза о нормальном распределении размера кредита согласуется с данными выборки и должна быть принята.

Гистограмма - это совокупность прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы (x_i; x_{i +1}], а высота которых равна .

k_i = x_{i +1} - x_i - длина частичного интервала, k_i = 100, n × k_i = 100 × 100 = 10000

, , , ,

.

Для построения графика нормальной кривой отметим точки (x_i; p_i / k), где x_i - середина интервала, p_i - вероятность попадания в интервал.

Вершина при х = а = 282.

0, 0574.

p₁ / k = 0, 1002 / 100 = 0, 0010 p₂ / k = 0, 2669 / 100 = 0, 0027

p₃ / k = 0, 3432 / 100 = 0, 0034 p₄ / k = 0, 2041 / 100 = 0, 0020

p₅ / k = 0, 0586 / 100 = 0, 0006