Задача 3. 3. Распределение 250 пар, вступивших в брак, по возрасту мужчин Х (лет) и женщин Y (лет) представлено в таблице:

3. Распределение 250 пар, вступивших в брак, по возрасту мужчин Х (лет) и женщин Y (лет) представлено в таблице:

Необходимо:

1) Вычислить групповые средние , построить эмпирические линии регрессии.

2) Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать содержательную интерпретацию полученных уравнений; б) вычислить коэффициент корреляции на уровне значимости α = 0, 05, оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными X и Y; в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средний возраст мужчин, имеющих супруг в возрасте 30 лет.

3. Решение.

По исходным данным составим корреляционную таблицу, где интервалы представлены своими серединами.

1) Найдем групповые средние по Y по формуле .

x₁ = 20 (20 × 7 + 30 × 3) / 10 = 230 / 10 = 23, 000

x₂ = 30 (20 × 52 + 30 × 110 + 40 × 13 + 50 × 1) / 176 = 4910 / 176 = 27, 898

x₃ = 40 (20 × 1 + 30 × 14 + 40 × 23 + 50 × 2) / 40 = 1460 / 40 = 36, 500

x₄ = 50 (30 × 1 + 40 × 4 + 50 × 6 + 60 × 1) / 12 = 550 / 12 = 45, 833

x₅ = 60 (50 × 3 + 60 × 6) / 9 = 510 / 9 = 56, 667

x₆ = 70 60 × 3 / 3 = 60, 000

Составим таблицу 2.

					Таблица 2
xi
	23, 000	27, 898	36, 500	45, 833	56, 667	60, 000

По точкам (х_i; ) построим эмпирическую линию регрессии Y на X. Эти точки расположены вблизи прямой с уравнением y = ax + b, где a и b неизвестные параметры и их нужно определить.

Групповые средние по Х найдем по формуле .

y₁ = 20 (20 × 7 + 30 × 52 + 40 × 1) / 60 = 1740 / 60 = 29, 000

y₂ = 30 (20 × 3 + 30 × 110 + 40 × 14 + 50 × 1) / 128 = 3970 / 128 = 31, 016

y₃ = 40 (30 × 13 + 40 × 23 + 50 × 4) / 40 = 1510 / 40 = 37, 750

y₄ = 50 (30 × 1 + 40 × 2 + 50 × 6 + 60 × 3) / 12 = 590 / 12 = 49, 167

y₅ = 60 (50 × 1 + 60 × 6 + 70 × 3) / 10 = 620 / 10 = 62, 000

Составим таблицу 3

				Таблица 3
	29, 000	31, 016	37, 750	49, 167	62, 000
yj

По точкам (; y_j) построим эмпирическую линию регрессии X на Y. Эти точки расположены вблизи прямой с уравнением x = cy + d, где c и d неизвестные параметры и их нужно определить.

Для получения уравнений прямых регрессий вычислим выборочные средние

и .

33, 72

31, 36

Выборочные дисперсии находим по формулам и

1214

1214 – 33, 72² = 76, 9616.

1076, 8

1076, 8 – 31, 36² = 93, 3504.

Вычислим средние квадратические отклонения

8, 7728; 9, 6618.

Вычислим по формуле .

m = (20 × 20 × 7 + 20 × 30 × 3 + 30 × 20 × 52 + 30 × 30 × 110 + 30 × 40 × 13 + 30 × 50 × 1 +

+ 40 × 20 × 1 + 40 × 30 × 14 + 40 × 40 × 23 + 40 × 50 × 2 + 50 × 30 × 1 + 50 × 40 × 4 +

+ 50 × 50 × 6 + 50 × 60 × 1 + 60 × 50 × 3 + 60 × 60 × 6 + 70 × 60 × 3) / 250 – 33, 72 × 31, 36 =

= 281000 / 250 – 1057, 4592 = 1124 – 1057, 4592 = 66, 5408.

Вычислим коэффициенты регрессии по формулам

66, 5408: 76, 9616» 0, 8646» 0, 865;

66, 5408: 93, 3504» 0, 7128» 0, 713.

а) Составим уравнение регрессии X на Y

x – 33, 72 = 0, 713 × (y – 31, 36) или x = 0, 713 y + 11, 366.

Прямую проведем через точки (33, 72; 31, 36) и (11, 366; 0, 00).

Уравнение регрессии X на Y показывает средний возраст мужчины, вступившего в брак с женщиной возраста y.

Содержательный смысл коэффициента регрессии 0, 713 состоит в том, что при увеличении возраста женщины, вступающей в брак, на 1 год возраст супруга увеличивается в среднем на 0, 713 года.

Составим уравнение регрессии Y на X

y – 31, 36 = 0, 865 × (x – 33, 36) или y = 0, 865 x + 2, 206.

Прямую проведем через точки (33, 72; 31, 36) и (0, 00; 2, 206).

Уравнение регрессии Y на X показывает средний возраст женщины, вступившей в брак с мужчиной возраста х.

Содержательный смысл коэффициента регрессии 0, 865 состоит в том, что при увеличении возраста мужчины, вступающего в брак, на 1 год возраст супруги увеличивается в среднем на 0, 865 года.

б) Коэффициент корреляции 0, 7850.

Для проверки значимости коэффициента корреляции вычислим наблюдаемое значение

; 19, 958.

Критическое значение для уровня значимости α = 0, 05 и числа степеней свободы k = n–2= = 250 -2 = 248 находим по таблице t_{1- 0, 05; 248} = t_{0, 95; 248} = 1, 97.

Получили |t_набл| > t_кр, так как 19, 958 > 1, 97.

Следовательно, коэффициент корреляции значимо отличается от нуля.

Коэффициент корреляции r = 0, 7851 > 0 и попадает по абсолютной величине в интервал 0, 7 - 0, 99. Следовательно, между возрастом вступающих в брак мужчины (Х) и женщины (Y) существует прямая сильная корреляционная связь. При увеличении (уменьшении) значения одной величины соответственно увеличивается (уменьшается) среднее значение другой.

в) Используем уравнение прямой регрессии Х на Y x = 0, 713 y + 11, 366.

При y = 30 х = 0, 713 × 30 + 11, 366 = 32, 756.

Средний возраст мужчин, имеющих супруг в возрасте 30 лет, равен 32, 756 лет.