Функция распределения вероятностей случайной величины и ее свойства.
Рассмотрим функцию F(х), определенную на всей числовой оси следующим образом: для каждого х значение F(х) равно вероятности того, что дискретная случайная величина примет значение, меньшее х, т. е.
| (18)
| Эта функция называется функцией распределения вероятностей, или кратко, функцией распределения.
пример 1. Найти функцию распределения случайной величины , приведенной в примере 1, п. 1.
Решение: Ясно, что если , то F(x)=0, так как не принимает значений, меньших единицы. Если , то ; если , то . Но событие < 3 в данном случае является суммой двух несовместных событий: =1 и =2. Следовательно,

Итак для имеем F(x)=1/3. Аналогично вычисляются значения функции в промежудках , и . Наконец, если x> 6 то F(x)=1, так как в этом случае любое возможное значение (1, 2, 3, 4, 5, 6) меньше, чем x. График функции F(x) изображен на рис. 4.

Пример 2. Найти функцию распределения случайной величины , приведенной в примере 2, п. 1.
Решение: Очевидно, что

График F(x) изображен на рис. 5.

Зная функцию распределения F(x), легко найти вероятность того, что случайная величина удовлетворяет неравенствам . Рассмотрим событие, заключающееся в том, что случайняя величина примет значение, меньшее . Это событие распадается на сумму двух несовместных событий: 1) случайная величина принимает значения, меньшие , т.е. ; 2) случайная величина принимает значения, удовлетворяющие неравенствам . Используя аксиому сложения, получаем

Отсюда

Но по определению функции распределения F(x) [см. формулу (18)], имеем , ; cледовательно,
| (19)
| Таким образом, вероятность попадания дискретной случайной величины в интервал равна приращению функции распределения на этом интервале.
Рассмотрим основные свойства функции распределения. 1°. Функция распределения является неубывающей. В самом деле, пусть < . Так как вероятность любого события неотрицательна, то . Поэтому из формулы (19) следует, что , т.е. .
2°. Значения функции распределения удовлетворяют неравенствам . Это свойство вытекает из того, что F(x) определяется как вероятность [см. формулу (18)]. Ясно, что * и .
3°. Вероятность того, что дискретная случайная величина примет одно из возможных значений xi, равна скачку функции распределения в точке xi. Действительно, пусть xi - значение, принимаемое дискретной случайной величиной, и . Полагая в формуле (19) , , получим
| (20)
| В пределе при вместо вероятности попадания случайной величины на интервал получим вероятность того, что величина примет данное значение xi:

C другой стороны, получаем , т.е. предел функции F(x) справа, так как . Следовательно, в пределе формула (20) примет вид
| (21)
| т.е. значение p(xi) равно скачку функции ** xi. Это свойство наглядно иллюстрируется на рис. 4 и рис. 5.
|