Непрерывные случайные переменные

Непрерывные случайные переменные — это случайные переменные, которые могут принимать бесконечное количество значений. Например, рентабель­ность активов, кросс-курсы валют, различные биржевые индексы и т.д. Единица измерения может здесь представлять собой бесконечно малую величину.

Для примера рассмотрим доход от какой-либо ценной бумаги. Доходность определяется как отношение: . Количество возможных значений доходности может быть беско­нечно велико. Например, изменение цены актива со 105 единиц до 109 даст доходность, равную 3, 8% или 3, 81%, или 3, 8095% в зависимости от количества знаков после запятой, допускаемого нами при измерении доходности. В этих обстоятельствах нет ни­какого смысла в попытках нахождения вероятности значения доходности равной, скажем, 3, 81%. Имеет смысл только нахо­ждение вероятности того, что случайная переменная примет значение на каком-то определенном интервале, скажем, между 3, 81% и 3, 82%.

Очевидно, что определить вероятность для каждого значения случайной переменной с помощью таблицы, как это делается для дискретных случайных переменных, невозможно. В целях преодо­ления этой проблемы вероятность для непрерывных случайных переменных определяется путем задания так называемой функции плотности вероятно­стей f (Х).

Таким образом, для случайной переменной (X) получаем:

где f — функция плотности вероятностей, которая позволяет задать вероятность каждому значению случайной переменной Х. Функция плотности вероятностей обладает свойством:

(1.1)^*

Иными словами, площадь, целиком заключенная под всей кривой, изображающей плотность распределения вероятностей, равна единице.

Интегральной функцией распределения непрерывной случайной величины Х называется функция F(Х), равная вероятности того, что Х приняла значение меньшее, чем х:

F(X)=P(X< x).

Интегральная функция распределения F(X) и плотность распределения f(X) связаны соотношением , вот почему функцию f(X) еще называют дифференциальной функцией распределения непрерывной случайной величины.

* несобственный интеграл определяется как