Математическое ожидание. Математическое ожидание дискретной случайной переменной Х определяется как:

Математическое ожидание дискретной случайной переменной Х определяется как:

, то есть математическое ожидание случайной дискретной величины определяется как сумма произведений всех возможных значений величины Х (х_i) на соответствующие вероятности.

Существует теорема, которая утверждает, что математическое ожидание дискретной случайной величины приближенно равно среднему арифметическому всех ее значений, при достаточно большом количестве испытаний n.

Математическое ожидание есть некоторая средневзвешенная арифметическая величина, где весами являются вероятности. Следовательно, математическое ожидание характеризует меру положения случайной переменной. Для непрерывной случайной величины Х с плотностью распределения f(х) математическое ожидание это несобственный интеграл:

Математическое ожидание имеет следующие свойства (X и Y — произвольные случайные величины, a и b — константы):

, если Х и У являются независимыми случайными величинами.

если при всех реализациях, то

Отметим, что случайные величины называются независимыми. Если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.

Примеры:

1. Найдем математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной табличным законом распределения:

М(Х)=2*0, 1+4*0, 2+6*0, 3+8*0, 4=6.

2. Найдем математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, заданной плотностью распределения:

.