Многомерное и условное распределение вероятностей.

Важным понятием, используемым в эконометрике, является многомерное распределение. Для простоты рассмотрим двумерный случай, когда событие приобретает второе измерение и связывается уже с двумя случайными переменными. Плотность вероятности двумерной случайной переменной характеризуется функцией от двух переменных . Распределение вероятностей определяется по формуле:

Две случайные переменные и называются статистически независимыми, если справедливо соотношение .

Теоретико-вероятностной основой для регрессионной модели служит понятие условного распределения случайной переменной. Понятие условного распределения возникает в задачах, в которых требуется выяснить распределение одной переменной при фиксированных значениях другой.

Например, нас интересует распределение урожайности в каком-то хозяйстве. В одном случае мы знаем уровень внесения минеральных удобрений под будущий урожай, в другом случае — нет. Вполне понятно, что распределение вероятностей для урожайности в двух этих случаях разные. И говоря об условном распределение мы имеем в виду случай, когда уровень внесения минеральных удобрений известен.

Распределение, которое характеризует плотность вероятностей разных значений , при условии, что известно и принимает фиксированные значения, называется условным распределением.

Функция условной плотности определяется как отношение двух плотностей:

,

Аналогично ,

В ходе последующего изложения мы будем широко пользоваться понятием «условное математическое ожидание»: ожидаемое значение некоторой случайной переменной при заданном значении других случайных переменных.

Математическое ожидание , при заданном значении обозначается символом и определяется по формуле: