Смещение и его роль

В теории выборочных обследований приходится рассматривать смещенные оценки. Это нужно делать по двум причинам.

1. В некоторых, часто встречающихся случаях, особенно при оце-нивании отношений двух величин, оценки, которые по другим сооб-ражениям удобны и целесообразны, оказываются смещенными. [[27]]

2. Даже если оценки при вероятностном отборе и будут несмещен-ными, ошибки наблюдения и неполучение ответа могут привести к смещению в окончательных результатах обследования. Так произойдет, например, если среди ответивших на вопросы обследования о расходовании общественных фондов на некоторые цели половина настроена < за> и половина < против>, а среди отказавшихся отвечать настроены < против> почти все.

Для того чтобы исследовать эффект смещения, предположим, что оценка распределена нормально со средним значением т, которое находится на расстоянии В от истинного значения для совокупности m,

Рис. 1.1. Влияние смещения на ошибки оценивания

как показано на рис. 1.1. Величина смещения В = т- m. Предположим, что мы не знаем о существовании смещения. Мы вычисляем среднее квадратичное отклонение s распределения частот оценки - оно будет, конечно, средним квадратичным отклонением от среднего значения т для распределения, а не от истинного среднего значения m. Вместо мы принимаем s. В качестве утверждения относительно до-стоверности оценки мы заявляем, что лишь с вероятностью 0, 05 оценка , отклонится от своего истинного значения на величину, большую чем 1, 96 s.

Рассмотрим теперь, как искажается эта вероятность при наличии смещения. Для этого мы вычислим истинную вероятность того, что ошибка оценки превысит 1, 96 s, при этом ошибка измеряется относительно истинного значения m. Два < хвоста> распределения нужно исследовать отдельно. Для правого < хвоста> вероятность того, что ошибка превысит +1, 96 s, равна площади заштрихованной области на рис. 1.1 справа от точки Q. Эта площадь равна

.

[[28]]

Положим (m - т) = st. Нижний предел интегрирования по t равен:

.

Следовательно, эта площадь равна

.

Аналогично для левого < хвоста> площадь заштрихованной области слева от точки Р равна

.

Из вида интегралов ясно, что величина искажения вероятностей зависит только от отношения смещения к среднему квадратичному отклонению. Результаты вычислений приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

ВЛИЯНИЕ СМЕЩЕНИЯ В НА ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО ОШИБКА ПРЕВЫСИТ ВЕЛИЧИНУ 1, 96 s

На общую вероятность того, что ошибка превысит величину 1, 96 s, смещение влияет очень мало при условии, что оно составляет менее одной десятой среднего квадратичного отклонения. В этом случае об-щая вероятность составляет 0, 0511 вместо предполагавшихся 0, 05. По мере того как смещение увеличивается, искажение вероятности становится более значительным. Для В = s общая вероятность равна 0, 17, что более чем в три раза превышает предполагавшуюся величину.

На < хвосты> распределения смещение влияет по-разному. При по-ложительном смещении, как в нашем примере, вероятность преумень-шить истинное значение быстро уменьшается от предполагавшихся 0, 025 до пренебрежимо малой величины при В = s. Вероятность соот-ветствующего преувеличения постепенно растет. Для большинства [[29]] приложений интерес, главным образом, представляет совокупная ошибка, но иногда интересуются ошибкой, имеющей определенный знак.

В качестве рабочего правила принимается, что влиянием смещения на достоверность оценки можно пренебречь, если смещение составляет менее одной десятой среднего квадратичного отклонения оценки. Если имеется смещенный метод оценивания, для которого В/о < 0, 1, где В - абсолютная величина смещения, то можно считать, что сме-щение не будет существенным недостатком этого метода. Даже при В/о == 0, 2 искажение вероятности ошибки довольно незначительно.

Пользуясь этим правилом, следует различать два источника сме-щения, упомянутые в начале этого параграфа. Для смещений, анало-гичных тем, что возникают при оценивании отношений двух величин, верхняя граница для отношения В/о может быть найдена теоретически. Если выборка достаточно велика, то мы можем быть уверены в том, что В/о не превышает 0, 1. С другой стороны, для смещений, вызванных ошибками наблюдения или неполучением ответа, обычно невозможно найти надежную и достаточно малую верхнюю границу для В/о. Этот трудный вопрос рассматривается в гл. 13.