Расчет динамического коэффициента при ударной нагрузке

Предположим, что очень жесткое тело А весом Q, деформацией которого можно пренебречь, падая с некоторой высоты H, ударяет по другому телу B, опирающемуся на упругую систему С (рис.15.6). В частном случае это может быть падение груза на конец призматического стержня, другой конец которого закреплен (продольный удар), падение груза на балку, лежащую на опорах (изгибающий удар), и т. п.

Рис.15.6

В течение очень короткого промежутка времени упругая система С испытает некоторую деформацию. Обозначим через перемещение тела В (местной деформацией которого пренебрежем) в направлении удара. В упомянутых частных случаях при продольном ударе за перемещение соответственно нужно считать продольную деформацию стержня , при изгибающем ударе — прогиб балки в ударяемом сечении и т. п. В результате удара в системе С возникнут напряжения ( или — в зависимости от вида деформации).

Полагая, что кинетическая энергия Т ударяющего тела полностью переходит в потенциальную энергию деформации упругой системы, можем написать:

(15.4)

Так как к моменту окончания деформации ударяющее тело пройдет путь , то его запас энергии будет измеряться произведенной им работой и будет равен:

(15.5)

Вычислим теперь . При статической деформации потенциальная энергия численно равна половине произведения действующей силы на соответствующую деформацию:

(15.6)

Статическая деформация в ударяемом сечении может быть вычислена по закону Гука, который в общем виде можно записать так:

или

Здесь с — некоторый коэффициент пропорциональности (называемый иногда жесткостью системы); он зависит от свойств материала, формы и размеров тела, вида деформации и положения ударяемого сечения. Так, при простом растяжении или сжатии , и ; при изгибе балки, шарнирно закрепленной по концам, сосредоточенной силой Q посредине пролета и ; и т.д.

Таким образом, выражение для энергии может быть переписано так:

В основу этой формулы положены две предпосылки: а) справедливость закона Гука и б) постепенный — от нуля до окончательного значения — рост силы Q, напряжений и пропорциональных им деформаций .

Опыты с определением модуля упругости по наблюдениям над упругими колебаниями стержней показывают, что и при динамическом действии нагрузок закон Гука остается в силе, и модуль упругости сохраняет свою величину. Что касается характера нарастания напряжений и деформаций, то и при ударе деформация происходит, хотя и быстро, но не мгновенно; постепенно растет в течение очень короткого промежутка времени от нуля до окончательного значения; параллельно росту деформаций возрастают и напряжения .

Реакция системы С на действие упавшего груза Q (назовем ее ) является следствием развития деформации ; она растет параллельно от нуля до окончательной, максимальной величины и, если напряжения не превосходят предела пропорциональности материала, связана с ней законом Гука:

где с — упомянутый выше коэффициент пропорциональности, сохраняющий свое значение и при ударе.

Таким образом, обе предпосылки для правильности формулы (15.6) принимаются и при ударе. Поэтому можно считать, что вид формулы для при ударе будет тот же, что и при статическом нагружении системы С силой инерции , т. е.

(Здесь учтено, что по предыдущему ) Подставляя значения Т и в уравнение (15.4), получаем:

или

Отсюда

или, удерживая перед радикалом для определения наибольшей величины деформации системы в направлении удара знак плюс, получаем:

(15.7)

Так как напряжения и усилия по закону Гука пропорциональны деформации, то

(15.8)

(15.9)

Из этих формул видно, что величина динамических деформаций, напряжений и усилий зависит от величины статической деформации, т.е. от жесткости и продольных размеров ударяемого тела; ниже это дополнительно будет показано на отдельных примерах. Величина

(15.10)

в данном случае представляет собой динамический коэффициент.

В случае внезапного приложения груза, когда получаем .

Формула (15.10) используется в случаях, когда масса упругого тела, испытывающего удар, мала и ею в расчете пренебрегают.

При необходимости учета массы тела, испытывающего удар, формула для расчета динамического коэффициента принимает вид

(15.11)

где m _г – масса падающего груза, m _пр – приведенная масса тела, испытывающего удар, причем

(15.12)

где m – истинная (распределенная) масса тела; – коэффициент приведения распределенной массы к точечной. Он определяется путем сравнения кинетической энергии тела с распределенной и с точечной массами. Коэффициент зависит от вида удара (продольный, изгибный и т.п.) и от характера закрепления концов стержня.

Так, для консольной балки, испытывающей продольный удар (рис. 15.7, а), = 0, 33; для шарнирно опертой балки на двух опорах, испытывающей удар посередине (рис. 15.7, б), = 17/35 0, 5; для консольной балки, испытывающей изгибный удар (рис. 15.8, в), = 33/140 0, 235 и т.д.

Заменяя в этой формуле Н на , где — скорость ударяющего тела в начальный момент удара, получаем:

(15.13)

Кроме того, так как

где — энергия ударяющего тела к моменту начала удара, то выражение для динамического коэффициента может быть представлено еще и в таком виде:

(15.14)

Если мы в формулах (15.7) и (15.8) положим , т.е. просто сразу приложим груз Q, то и ; при внезапном приложении силы Q деформации и напряжения вдвое больше, чем при статическом действии той же силы.

Наоборот, если высота падения груза Н (или скорость ) велика по сравнению с деформацией , то в подкоренном выражении формул (15.7) — (15.13) можно пренебречь единицей по сравнению с величиной отношения . Тогда для и получаются следующие выражения:

и (15.15)

При очень большой величине отношения можно пренебречь и единицей, стоящей перед корнем, т.е. написать:

и (15.16)

Динамический коэффициент в этом случае определяется по формуле

(15.17)

Необходимо отметить, что в то время как пренебрежение единицей 2 Н в подкоренном выражении допустимо уже при (неточность приближенных формул будет не больше 5%). Пренебрежение единицей, стоящей перед корнем, допустимо лишь при очень большой величине отношения .

Так, например, для того чтобы приближенные формулы (15.16) и (15.17) давали погрешность не более 10%, отношение должно быть больше 110.

Формулы и , в которых выражается через , могут быть использованы также для решения задачи о встречном ударе тел, двигающихся с некоторой скоростью, при определении напряжений в цилиндре двигателя внутреннего сгорания, вызванных резким повышением давления газа при вспышке горючей смеси и др. На этом основании их можно считать общими формулами для расчета на удар.

Обобщая сказанное выше, можем наметить следующий общий прием решения задач на определение напряжений при ударе. Применяя закон сохранения энергии, надо:

1) вычислить кинетическую энергию ударяющего тела Т;

2) вычислить потенциальную энергию тел, воспринимающих удар, под нагрузкой их силами инерции при ударе; потенциальная энергия должна быть выражена через напряжение (, ) в каком-либо сечении, через деформацию (удлинение, прогиб) или через силу инерции ударяющего тела;

3) приравнять величины и Т и из полученного уравнения найти или непосредственно динамическое напряжение, или деформацию, а по ней, пользуясь законом Гука, напряжение или силу и соответствующие ей динамические напряжения и деформации.

Описанный общий прием расчета на удар предполагает, что вся кинетическая энергия ударяющего тела целиком переходит в потенциальную энергию деформации упругой системы. Это предположение не точно. Кинетическая энергия падающего груза частично превращается в тепловую энергию и энергию неупругой деформации основания, на которое опирается система.

Вместе с тем при высоких скоростях удара деформация за время удара не успевает распространиться на весь объем ударяемого тела и в месте удара возникают значительные местные напряжения, иногда превосходящие предел текучести материала. Так, например, при ударе свинцовым молотком по стальной балке большая часть кинетической энергии превращается в энергию местных деформаций. Подобное же явление может иметь место даже и в том случае, когда скорость удара мала, но жесткость или масса ударяемой конструкции велика.

Указанный случай соответствуют большим величинам дроби . Поэтому можно сказать, что описанный выше метод расчета применим, пока дробь не превышает определенной величины. Более точные исследования показывают, что ошибка не превышает 10% если . Так как эта дробь может быть представлена в виде отношения , то можно сказать, что изложенный метод применим, пока энергия удара превышает не более чем в 100 раз потенциальную энергию деформации, соответствующую статической нагрузке конструкции весом ударяющего груза. Учет массы ударяемого тела при ударе позволяет несколько расширить пределы применимости этого метода в тех случаях, когда масса ударяемого тела велика.

Более точная теория удара излагается в курсах теории упругости.