Доказательство

а) Необходимость. Пусть X и Y независимы. Тогда события А={X< x} и В={Y< y} независимы, следовательно, вероятность совмещения этих событий равна произведению их вероятностей:

то есть

б) Достаточность. Пусть Отсюда

то есть вероятность совмещения событий {X< x} и {Y< y} равна произведению вероятностей этих событий. Следовательно, случайные величины X и Y независимы.

Следствие 1. Необходимым и достаточным условием независимости двух непрерывных случайных величин, образующих систему (X, Y), является равенство

(30)

Следствие 2. Необходимым и достаточным условием независимости двух дискретных случайных величин, образующих систему (X, Y), является равенство

(31)

для любых

Пример 6. Плотность распределения системы непрерывных случайных величин (X, Y) имеет вид:

.

Определить, зависимы или независимы случайные величины X и Y.

Решение: Разлагая знаменатель на множители, получаем:

.

Из того, что функция f(x, y) распалась на произведение двух функций, из которых одна зависит только от x, а другая только от y, заключаем, что величины X и Y независимы.

Пример 7. Определить, зависимы или независимы дискретные случайные величины X и Y, если закон распределения случайного вектора (X, Y) представлен в таблице 2 (см. пример 3 на стр.8).

Решение: Из таблицы 2 имеем ; из таблицы 3 имеем ; из таблицы 4 имеем: .

Поскольку , можно сделать вывод, что величины X и Y зависимы.

Понятие независимости можно обобщить на случай n величин. Случайные величины X₁, X₂, …, X_n называются независимыми в совокупности (или взаимно независимыми), если события {X₁< x₁}, {X₂< x₂}, …, {X_n< x_n} независимы в совокупности (взаимно независимы) при любых (x₁, x₂, …, x_n).

Необходимым и достаточным условием взаимной независимостиn случайных величин является равенство:

(32)

для n непрерывных случайных величин

(33)