![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Условные законы распределения
Обратимся теперь к зависимым величинам. Вероятностная зависимость между случайными величинами часто встречается на практике. Если случайные величины X и Y находятся в вероятностной зависимости, это не означает, что с изменением величины X величина Y изменяется вполне определенным образом; это лишь означает, что с изменением величины X величина Y имеет тенденцию также изменяться (например, возрастать или убывать с ростом X). Эта тенденция соблюдается лишь в общих чертах, и в каком-то отдельном случае от неё возможны отступления. Примеры случайных величин, находящихся в вероятностной зависимости: рост и возраст ребенка; затраты и прибыль при производстве определенной продукции; затраты на рекламу и объем продаваемой продукции. Для того, чтобы полностью описать систему, недостаточно знать распределение каждой из составляющих; нужно ещё знать зависимость между величинами, входящими в систему. Эта зависимость характеризуется с помощью условных законов распределения. Условным законом распределения одной из случайных величин, входящих в систему (X, Y), называется её закон распределения, найденный при условии, что другая случайная величина приняла определённое значение (или попала в какой-то интервал). Пусть (X, Y) – дискретная двумерная случайная величина и В соответствии с определением условных вероятностей событий*), условная вероятность того, что случайная величина Х примет значение
Совокупность вероятностей (34), то есть Аналогично определяются условная вероятность и условный закон распределения случайной величины Y при условии
Пример 8. Пусть закон распределения двумерного случайного вектора (X, Y) задан таблицей 2 (стр. 8). Найти условный закон распределения случайной величины Х при Y =0, 1. Решение. С учетом формулы (34) имеем: (значение
*) Пусть А и В – случайные события. Тогда вероятность их совместного появления равна
Таким образом, условный закон распределения случайной величины Х при Y =0, 1 таков: Таблица 5
Сравнивая найденный условный закон распределения случайной величины Х с безусловным законом её распределения (таблица 3 на стр. 8), видим, что они различны. Следовательно, случайные величины X и Y находятся в вероятностной зависимости. Пусть теперь (X, Y) – непрерывная двумерная случайная величина с плотностью Условной плотностью распределения составляющей X при условии Y=y называют отношение плотности совместного распределения к плотности распределения составляющей Y:
Аналогично определяется условная плотность распределения составляющей Y при условии X=x:
Из (36) и (37) получим:
Таким образом, плотность распределения системы двух непрерывных случайных величин равна произведению плотности одной составляющей на условную плотность другой составляющей. Как и любая плотность распределения, условные плотности обладают следующими свойствами:
Пример 9. Непрерывный вектор (X, Y) равномерно распределен в круге с радиусом 1, то есть Найти условные плотности распределения компонент этого вектора.
|