Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Общий случай построения уравнения регрессии с помощью МНК
|
|
С учетом принятой модели регрессии и из структуры соотношения (3) видно, что минимум по переменным a и b определяется решением системы уравнений:
;
Данные уравнения можно записать в более компактном виде:
;
. (4)
В системе уравнений (4) все суммы берутся по i в пределах от 1 до n.
Система (4) называется системой нормальных уравнений и ее решение для определения неизвестных a и b имеет вид:
;
,
где обозначено
Выражение для определения коэффициента b может быть представлено и в таком виде
. (5)
Из первого уравнения (4) следует, что при известном значении b, значение a находится из решения уравнения
. (6)
В связи с тем, что для решения задач по исследованию уравнений регрессии широко используются результаты, получаемые с помощью программы Microsoft Excel, в дальнейшем будем приводить терминологию и обозначения, принятые в этом программном продукте. В частности, запись формулы (5) будет иметь вид:
где SS обозначает сумму квадратов (sum of squares).
Пример 1. Дляисследования линейной системы (см. рис.2) и определения параметров ее передаточной характеристики на вход системы подаются калиброванные по уровню дискретные сигналы X i, i = 1, …, 5. Преобразованные сигналы Y i, измеряются на выходе системы. Результаты экспериментальных исследований системы приведены в табл.2 (столбцы 2 и 3). По данным эксперимента необходимо подобрать уравнение прямой, которая наиболее правдоподобно описывает зависимость между входом и выходом линейной системы.
|
Xi Yi
Рис. 2
Таблица 2
| i | X i | Y i | 
| X i 
|
|
Решение. Результаты, необходимые для расчета элементов системы нормальных уравнений, приведены в табл. 2. Подставив полученные значения в уравнения (4), получим:
;
.
Отсюда находим коэффициенты уравнения регрессии:
; 
.
Таким образом, передаточная характеристика линейной системы может быть описана следующим уравнением регрессии:
.
Построенное по экспериментальным точкам табл. 2 уравнение регрессии показано на рис. 3, а результаты регрессионного анализа, выполненные с помощью программы Microsoft Excel, представлены в табл. 3.