![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Уравнение регрессии в матричной форме можно записать в следующем виде
где введены следующие матрицы: 1) матрица-столбец (вектор) значений отклика в i- х точках эксперимента 2) матрица планирования эксперимента, которая задает координаты всех опытных точек где введена фиктивная переменная
3) матрица-столбец (вектор) искомых коэффициентов регрессии
Здесь 4) матрица-строка (вектор) флюктуаций или помех
С учетом матричных обозначений сумму квадратов остатков можно представить в виде
Дифференцируя
или
Матричная форма нормальных уравнений (10) для линейного уравнения регрессии равносильна системе алгебраических уравнений:
В уравнении (10) матрица Матрица-столбец b - коэффициентов определяется из уравнения (10) путем умножения слева обеих его частей на матрицу
3. Решение задачи регрессионного анализа в случае ортогонального плана
Методика построения моделей на основе ортогональных планов состоит в переходе к кодированной переменной U, обладающей свойствами симметрии относительно нового начала координат, совпадающего со средним значением
где d —шаг квантования переменной X. При этом предполагается, что отклик Y измеряется при равноотстоящих значениях фактора X. Кодирование переменной по формуле (12) приводит к тому, что кодированная переменная принимает симметричные относительно нуля значения такие, что имеет место условие Ортогональность плана приводит к диагональной информационной матрице
Например, соответственно для пяти и семи опытных точек плана получим следующие информационные матрицы:
Таким образом, в случае ортогонального плана информационная матрица является диагональной. Из нее легко получается обратная (дисперсионная) матрица
Для пяти и семи опытных точек плана дисперсионные матрицы соответственно равны:
В общем случае при ортогонализации и кодировании факторов значения элементов дисперсионной матрицы не зависит от реальных значений фактора X, а зависит только от числа опытных точек плана n. Зная матрицу С, нетрудно найти b – коэффициенты. Так как для кодированных переменных ui
то из формулы (11) получим
Отсюда находим выражения для b – коэффициентов:
Пример 3. Для исходных данных, приведенных в табл. 5 определите параметры уравнения регрессии, приведя исходные данные к ортогональному плану. Таблица 5
Решение. Выполним необходимые расчеты (см. табл. 5) для решения уравнений (17). В результате получим:
С учетом формулы (12) кодирования фактора
|