Распределения вероятностей

Пусть рассматриваемое измерительное устройство состоит всего из двух последовательных измерительных преобразователей. При этом погрешность каждого из преобразователей имеет равномерное распределение шириной и соответственно. Задача состоит в определении суммарной погрешности такого устройства и ее зависимости от соотношения составляющих.

Распределение вероятностей каждой из составляющих погрешности определяется условиями:

(6.12.1)

(6.12.2)

Композиция этих распределений, т.е. закон распределения резуль­тирующей погрешности прибора в целом, в общем случае является трапецеидальной, эволюционирующей от прямоугольника (при d ₂ < < d ₁) до треугольника (при d ₂= d ₁) и вновь до прямоугольника (при d ₂ > > d ₁). Этот закон распределения при d ₂ £ d ₁ может быть записан по участкам:

(6.12.3)

Энтропия суммарного закона распределения погрешности

(6.12.4)

Вычисление этого интеграла приводит к выражению

(6.12.5)

Отсюда энтропийное значение погрешности результата измерения получается равным

(6.12.6)

Дисперсии составляющих погрешности при равномерном законе распределения равны соответственно

и . (6.12.7)

Среднеквадратическая погрешность результата измерения

. (6.12.8)

Согласно приведенным соотношениям, энтропийный коэффициент результирующего распределения получает значение, определяемое только отношением составляющих погрешности , и выра­жается через это отношение при как

(6.12.9)

т.е. как

(6.12.10)

где – энтропийный коэффициент суммируемых равномерных распределений, a – некоторый весовой коэффициент, являющийся функцией только соотношения составляющих , так как отношение максимальных погрешностей при равномерных распределениях можно заменить отношением среднеквадратических погрешностей тех же распределений.

При , т.е. при отсутствии второй из составляющих погрешности (), коэффициент результирующего распределения, естественно, равен . При возрастании веса второй составляющей энтропийный коэффициент композиции (трапецеидального распределения) увеличивается и при и (треугольное распределение) достигает максимума, равного , а при дальнейшем возрастании вновь стремится к .

Таким образом, результирующая энтропийная погрешность рассматриваемого прибора складывается из составляющих и согласно соотношению

(6.12.11)

где при и при .