Свойства дифференциальной функции распределения.

Рассмотрим непрерывную случайную величину. Интегральная функция распределения вероятностей такой случайной величины непрерывно дифференцируема.

Определение. Производная от интегральной функции распределения непрерывной случайной величины называется дифференциальной функцией распределения этой случайной величины или дифференциальным законом распределения

.

Дифференциальная функция распределения иначе называется плотностью распределения вероятности.

Поясним это название. Из определения вероятности следует

.

По аналогии с массой стержня, отношение вероятности того, что случайная величина примет значение из интервала , к длине этого интервала – это средняя плотность вероятности случайной величины на этом интервале.

Предел при средней плотности вероятности случайной величины – это плотность распределения вероятностей.

Дифференциальную функцию распределения поэтому обозначают иногда через .

Свойства дифференциальной функции распределения

Свойство 1. Дифференциальная функция распределения определена при всех действительных значениях аргумента, т.е.

.

Доказательство.

Свойство 2. Дифференциальная функция распределения неотрицательна

.

Доказательство.

Свойство 3. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение на промежутке , равна определенному интегралу от ее плотности распределения, взятому в пределах от до .

. (1)

Доказательство.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию свойства 3.

Определение. График дифференциальной функции распределения называется кривой распределения вероятностей случайной величины . Исходя из геометрического смысла определенного интеграла. Делаем заключение: вероятность того, что случайная величина примет значение на промежутке , равна

площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой распределения вероятностей , слева прямой

Свойство 4. Если известна дифференциальная функция непрерывной случайной величины, то ее интегральная функция определяется по формуле

.

Доказательство.

Свойство 5. Несобственный интеграл первого рода от дифференциальной функции в бесконечных пределах равен единице

.

Доказательство.

Замечание 1. Если все возможные значения случайной величины содержатся в промежутке , то они тем более содержатся в интервале , а поэтому событие

,

следовательно

и

.

Замечание 2. Свойства 1 и 2 являются характеристическими свойствами дифференциальной функции распределения случайной величины, т.е., по доказанному, любая дифференциальная функция распределения случайной величины обладает свойствами 1, 2, и, наоборот, любая функция, обладающая свойствами 1 и 2, является дифференциальной функции распределения некоторой случайной величины.

Пример. Дифференциальная функция распределения случайной величины задана формулой

.

Найти: а) коэффициент и плотность распределения случайной величины ;

б) интегральную функцию распределения заданной случайной величины;

в) вероятность того, что случайная величина примет значение на промежутке .

Решение. а)

Пример. Случайная величина задана интегральной функций распределения

.

Найти: а) значение параметра ;

б) дифференциальную функцию распределения; построить графики интегральной и

дифференциальной функций распределения;

в) вероятность того, что случайная величина примет значение на промежутке.

Решение.