Алгоритм RLS

В принципе, в процессе приема сигнала можно на каждом очередном шаге пересчиты­вать коэффициенты фильтра непосредствен­но по формуле (5.13), однако это связано с нео­правданно большими вычислительными зат­ратами. Действительно, размер матрицы U постоянно увеличивается и, кроме того, не­обходимо каждый раз заново вычислять об­ратную матрицу (UU^T) . Сократить вычислительные затраты мож­но, если заметить, что на каждом шаге к мат­рице U добавляется лишь один новый стол­бец, а к вектору d – один новый элемент. Это дает возможность организовать вычисления рекурсивно. Соответствующий алгоритм на­зывается рекурсивным методом наименьших квадратов (Recursive Least Square, RLS).

Подробный вывод формул, описывающих алгоритм RLS, можно найти, например, в [2, 3], здесь, cледуя [4], приведем лишь основные идеи. При использовании алгоритма RLS производится рекурсивное обновление оценки обратной корреляционной матрицы P= (UU^T) , а вы­вод формул основывается на следующем мат­ричном тождестве:

(A + BCD) =

где А и С – квадратные невырожденные матрицы (необязательно одинаковых разме­ров), а В и D – матрицы совместимых раз­меров. Применение этой формулы для рекурсив­ного обновления обратной корреляционной матрицы Р в сочетании с исходной формулой (5.13) для коэффициентов оптимального филь­тра дает следующую последовательность ша­гов адаптивного алгоритма RLS.

1. При поступлении новых входных данных u(k) производится фильтрация сигнала с использованием текущих коэффициентов фильтра w(k-1) и вычисление величины ошибки воспроизведения образцового сиг­нала:

y(k)=u (k)w(k-1); (5.14)

e(k) = d(k)-y(k).

2. Рассчитывается вектор-столбец ко­эффициентов усиления (следует отметить, что знаменатель дроби в следующих двух фор­мулах является скаляром, а не матрицей):

K(k) = . (5.15)

3. Производится обновление оценки об­ратной корреляционной матрицы сигнала:

. (5.16)

4. Наконец, производится обновление коэффициентов фильтра

. (5.17)

Начальное значение вектора w обычно принимается нулевым, а в качестве исходной оценки матрицы Р используется диагональ­ная матрица вида CE , где скаляр С > > 1 (в [2] рекомендуется С > =100).

В критериях ошибок (5.10) и (5.12) значениям ошибки на всех временных тактах придается одина­ковый вес. В результате, если статистичес­кие свойства входного сигнала со временем изменяются, это приводит к ухудшению каче­ства фильтрации. Чтобы дать фильтру возмож­ность отслеживать нестационарный входной сигнал, можно применить в (5.10) экспоненци­альное забывание, при котором вес прошлых значений сигнала ошибки экспоненциально уменьшается

.

В этом случае формулы (15), (16) принимают следующий вид

;

.

Главным достоинством алгоритма RLS яв­ляется быстрая сходимость. Однако достига­ется это за счет значительно более высокой (по сравнению с алгоритмом LMS) вычисли­тельной сложности. Согласно [2] при опти­мальной организации вычислений для обнов­ления коэффициентов фильтра на каждом так­те требуется (2.5N²+4N) пар операций «умножение–сложение».