Алгоритм Кальмана

(3.1)

Прежде чем рассматривать применение алгоритма Кальмана для решения задачи адап­тивной фильтрации, напомним формулировку задачи фильтрации случайного процесса с известными динамическими свойствами, для решения которой фильтр Кальмана изначаль­но предназначен. Цель фильтра Кальмана – минимизировать дисперсию оценки вектор­ного дискретного случайного процесса х(k), изменяюще­гося во времени следующим образом:

где Ф(k) – матрица перехода, v(k) –слу­чайный вектор (шум процесса), имеющий нор­мальное распределение с корреляционной матрицей .

Для наблюдения доступен линейно преоб­разованный процесс у(k), к которому добав­ляется шум наблюдения

,

где Н(k) – матрица наблюдения, m(k) – шум наблюдения, представляющий собой слу­чайный вектор, имеющий нормальное распре­деление с корреляционной матрицей Q_m(k).

Поиск алгоритма для рекурсивного об­новления оценки процесса дает следу­ющую последовательность формул:

– прогнозируе­мое значение наблюдаемого сигнала;

– невязка между про­гнозируемым и реально наблюдаемым значе­ниями;

– кальмановский коэффициент усиления;

– обновление оценки процесса ;

– обновление оценки корреляционной матрицы ошибок фильтрации.

При использовании фильтра Кальмана для решения задачи адаптивной фильтрации от­слеживаемым процессом является вектор коэффициентов оптимального фильтра w.

Предположим, что детерминированных из­менений коэффициентов не происходит, по­этому матрица перехода Ф является еди­ничной: Ф(k) = E. В качестве матрицы наблю­дения выступает вектор содержимого линии задержки фильтра u(k). Таким образом, вы­ходной сигнал фильтра представляет собой прогнозируемое значение наблюдаемого сигнала, а в качестве самого наблюдаемого сигнала выступает образцовый сигнал адап­тивного фильтра d(k). Шум наблюдения в данном случае является ошибкой воспроиз­ведения образцового сигнала, а матрица Q превращается в скалярный параметр – средний квадрат сигнала ошибки. Как отме­чается в [3], величина этого параметра сла­бо влияет на поведение алгоритма. Рекомен­дуемые значения – (0.001...0.01) .

Если фильтруется стационарный случай­ный процесс, коэффициенты оптимального фильтра являются постоянными и можно при­нять Q = 0. Чтобы дать фильтру возмож­ность отслеживать медленные изменения статистики входного сигнала, в качестве Q может использоваться диагональная матрица.

В результате приведенные выше формулы принимают следующий вид

y(k)=u (k) (k - 1) – выходной сигнал фильтра (прогнозируемое значение образцо­вого сигнала);

e(k) = d(k)-y(k) – ошибка фильтрации;

– кальмановский коэффициент усиления;

– обновление оценки коэффициентов фильтра w(k);

– обновление оценки корреляционной матрицы ошибок оценивания.

Начальное значение вектора w обычно принимается нулевым, а в качестве исходной оценки матри­цы Р используется диагональная матрица вида CЕ, где Е – единичная матрица.

Сравнивая формулы, описываю­щие алгоритмы RLS и Кальмана, лег­ко заметить их сходство [7]. Вычислительная сложность и качественные парамет­ры двух алгоритмов также оказываются весь­ма близкими. Разница заключается лишь в ис­ходных посылках, использовавшихся при вы­воде формул, и в трактовке параметров алго­ритмов. В некоторых источниках алгоритмы RLS и Кальмана применительно к адаптивной фильтрации отождествляются.