Преобразование спектра случайного процесса в безынерционном нелинейном элементе

Если зависимость выходного сигнала от входного представляет собой нелинейную функцию, то можно найти ее ковариационную функцию: . Если известна двумерная плотность вероятности входного процесса, то: .

Этот интеграл довольно трудно вычислять, поэтому прибегают к различным упрощениям.

Пример: пусть . Двумерная плотность вероятности процесса равна: , где – нормированная корреляционная функция входного процесса.

Проделав необходимые преобразования и использовав соотношение перейдем к выражению: .

Пусть узкополосный процесс, тогда, учитывая, что , где – огибающая корреляционной функции узкополосного процесса, запишем окончательное выражение: .

Применим теперь прямое преобразование Фурье и получим выражение для энергетического спектра процесса на выходе элемента:

D 5mu7dxo2iI+b72djHqrTy7Si9UdFodP68mK8vwORaEx/MPzqszqU7LQLe2+j6DTcqvmMUQ03S8Wl mFjMlrzZaZhmmQJZFvJ/h/IHAAD//wMAUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhALaDOJL+AAAA4QEAABMAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAOP0h/9YAAACU AQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAvAQAAX3JlbHMvLnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEAEO8t8kMCAABO BAAADgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJzL2Uyb0RvYy54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAPu+G2d8A AAALAQAADwAAAAAAAAAAAAAAAACdBAAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA8wAAAKkF AAAAAA== " strokecolor="white"/>2 bxVsEJ83v69aP1Wnt1lF66+KvFHq9mZ8fAARaYx/YbjgMzqUzLTze1cHYRRM04zRIxvL2RwEJ6bZ fQpipyBLFkuQZSH/fyjPAAAA//8DAFBLAQItABQABgAIAAAAIQC2gziS/gAAAOEBAAATAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBlc10ueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADj9If/WAAAAlAEA AAsAAAAAAAAAAAAAAAAALwEAAF9yZWxzLy5yZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADD3SvhAAgAATAQA AA4AAAAAAAAAAAAAAAAALgIAAGRycy9lMm9Eb2MueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAMOCYJDgAAAA CwEAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAAmgQAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPMAAACnBQAA AAA= " strokecolor="white"/>

Первое слагаемое (дискретное) соответствует постоянной составляющей выходного колебания, второе – низкочастотной составляющей, спектр которой примыкает к нулевой частоте, третье – высокочастотной составляющей со спектром, группирующимся вблизи частоты 2w₀.

Вывод: Спектр на выходе существенно отличается от спектра на входе и имеет 3 составляющих.