Спектральная характеристика мощности и корреляционная функция случайного процесса на выходе линейной цепи

Если есть к-ая реализация на интервале имеет спектр , то на выходе цепи спектр сигнала:

По теореме Парсеваля:

.

Определим спектральную плотность мощности на входе цепи:

тогда спектральная плотность мощности на выходе:

. Возведение передаточной функции в квадрат объясняется тем, что она определяет отношение напряжений (токов) на входе и выходе, а является спектральной плотностью мощности случайной функции.

Корреляционная функция случайного процесса на выходе цепи по теореме Винера-Хинчина:

.

Корреляционная функция входного сигнала:

Корреляционная функция импульсной характеристики:

.

Следовательно, произведению спектральных функций и соответственно свертка функций и :

. Отсюда зная корреляционные функции и можно найти энергетический спектр: .

Пусть на входе белый шум (спектральная плотность равна на всех частотах), следовательно: , тогда:

.

Следовательно, если мы знаем вид корреляционной функции импульсной характеристики, то имеет такой же вид.