Спектральная плотность мощности случайного процесса

Спектральная плотность сигнала может быть определена только для детерминированного процесса. Для случайного процесса это невозможно, поэтому используют спектральную плотность мощности.

Пусть имеется k-ая реализация случайного процесса Х_К(t). Ограничим ее отрезком времени Т. Теперь это усеченная k-ая реализация . Найдем спектральную плотность для . Энергия на рассматриваемом участке по равенству Парсеваля:

Получим среднюю мощность реализации на отрезке Т, поделив это выражение на Т:

При увеличении Т энергия возрастает, но отношение Э_КТ / Т стремится к некоторому пределу:

Отсюда:

–– спектральная плотность мощности. Это предел спектральной плотности усеченной реализации отделенной на интервале времени Т.

Выражение справедливо для эргодического процесса.

При и усреднении по одной реализации:

Если , то

7.7. Теорема Винера – Хинчина

Чем больше время корреляции , тем меньше полоса частот спектра сигнала и наоборот. Существует определенная их взаимосвязь, определяемая теоремой Винера - Хинчина.