Узкополосный случайный процесс

Узкополосный процесс – это процесс, у которого отношение эффективной ширины спектра к средней частоте 1.

Реализация случайного процесса: , где и случайные величины.

Огибающая этого случайного процесса , где – сопряженный по Гильберту сигнал.

Будем считать, что случайный стационарный эргодический процесс.

Представим сигнал в виде квадратурных составляющих:

Отсюда:

Нам известна плотность распределения сигнала. Найдем плотность распределения огибающей и фазы узкополосного процесса.

Если сравнить два процесса и , то можно заметить, что получается сдвигом на . Это говорит о том, что случайное распределение процесса остается неизменным. Спектр получают из спектра процесса сдвигом его спектра на левой составляющей и на – правой составляющей, причем . Из этого выражения и рисунка видно, что площадь под кривой (в двух лепестках) равна площади под кривой . Следовательно, дисперсии случайных процессов одинаковы:

Так как , то среднее значение квадрата огибающей . Так как дисперсии равны, то . Плотности вероятностей определяются как

,

Т.к. , то

Значит, нормально распределяемые величины и независимые. Поэтому совместную плотность вероятности можно определить выражением:

Вероятность того, что конец вектора лежит в элементарном прямоугольнике равна вероятности пребывания в интервале и в интервале и равна вероятности пребывания вектора в элементарной площадке .

– вероятность того, что вектор пребывает в элементарном прямоугольнике. В полярных координатах: .

Тогда

Плотность распределения огибающей (амплитуды): – закон Рэлея, т.к. , то – равномерная плотность распределения.

Вывод: если случайный процесс распределен по нормальному закону, то его огибающая распределена по рэлеевскому закону, а фаза по равномерному закону.

Математическое ожидание:

Дисперсия: ,

где

отсюда .

Т. е. дисперсия огибающей меньше дисперсии самого случайного процесса.

Вероятность того, что огибающая (амплитуда) превысит некоторый заданный уровень:

Вероятность того, что амплитуда будет ниже уровня

С: .

Если , то . Поэтому ширина шумовой дорожки, фактически наблюдаемой на экране осциллографа не превышает (5-6) . Для широкополосных процессов ширина дорожки составляет (4-5) .

Корреляционная функция огибающей определяется по формуле:

где – огибающая нормированной корреляционной функции случайного процесса .

Энергетический спектр огибающей найдем через преобразование Фурье:

.

Первое слагаемое соответствует постоянной составляющей огибающей, а второе – сплошной части спектра.

Основываясь на выражении , мгновенную частоту можно записать в форме:

Плотность вероятности: ,

где Dwэкв – эквивалентная ширина спектра узкополосного процесса, определяемая выражением:

Частота случайного сигнала изменяется в пределах .

Закон распределения похож на нормальный.